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Aufgabenstellung:

Berücksichtigt man beim freien Fall den Luftwiderstand durch eine dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit proportionale Reibungskraft , so ergeben sich für Fallweg und Fallgeschwindigkeit die folgenden (komplizierten) Zeitgesetze:

Masse; Erdbeschleunigung; Reibungsfaktor;

  1. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Fallgeschwindigkeit und dem Fallweg ?
  2. Welche Endgeschwindigkeit wird erreicht?
  3. Welche Strecke muss der Körper fallen, um die halbe Endgeschwindigkeit zu erreichen?
    Wie lange ist er dann bereits unterwegs?

Lösungsweg:

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a) Zusammenhang zwischen Fallgeschwindigkeit und Fallweg

Mit Hilfe der Formeln und lässt sich die im Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz auftretende Funktion durch ausdrücken.

Setze vorübergehend mit und nutze die folgenden Umformungen und Rechenregeln:

Damit erhalten wir für :

Nun lösen wir das Weg-Zeit-Gesetz, durch Entlogarithmierung nach auf:

Diesen Ausdruck setzen wir in das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz ein und erhalten die gesuchte Abhängigkeit der Fallgeschwindigkeit vom Fallweg :

Verwendete Rechenregeln:

b) Endgeschwindigkeit (nach unendlich langer Fallzeit und damit auch unendlich langem Fallweg):

Umformungen: Der Grenzübergang darf unter der Wurzel vorgenommen werden; die streng monoton fallende -Funktion verschwindet für .

Damit können wir den Zusammenhang zwischen und auch wie folgt darstellen:

Abbildung

c) Fallweg und Zeit bis zum erreichen der halben Endgeschwingigkeit

Stelle und forme nach um, um den Fallweg zu bestimmen

Nutze: zur Lösung der Gleichung

Umformen nach ergibt folgende Lösung

Stelle und forme nach um, um die Fallzeit zu bestimmen

Auflösen dieser Gleichung durch Übergang zur Umkehrfunktion Areatangens hyperbolicus:

Lösung: