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Aufgabenstellung:

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild:

Abbildung

  1. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion in Abhängigkeit des Parameters
  2. Ermitteln Sie mit Hilfe des Hurwitz-Kriteriums den Bereich von , für den das System asymptotisch stabil ist.
  3. Bestimmen Sie den stationären Endwert für den Fall und . Was lässt sich für den Fall bezüglich aussagen?

Lösungsweg:

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a) Übertragungsfunktion

Durch geschicktes Verschieben eines Verzweigungspunktes sowie Zusammenfassen der Rückkopplung im Vorwärtszweig ergibt sich

Durch Umformung ergibt sich dann die gesuchte Übertragungsfunktion

b) Bereich von

Zur Bestimmung des Bereiches von , für den das System stabil ist, wird das Nennerpolynom betrachtet.

Nach Hurwitz ist die Übertragungsfunktion dann stabil, wenn alle Koeffizenten von vorhanden sind und das gleiche Vorzeichen besitzen. Die Koeffizienten sind alle vorhanden und positiv.

Somit muss für Stabilität gelten.

Zusätzlich müssen noch die Determinanten der drei Hurwitz-Matrizen betrachtet werden.

Für die Determinante von gilt , somit ist diese unabhängig von positiv.

Für die Determinante von ergibt sich

Diese Determiante ist auch unabhängig von positiv, somit ergibt sich auch hieraus keine weitere Bedingungen.

Abschließend wird noch die Determinante von geprüft

Durch diese Determinante ergibt sich eine zusätzliche Bedingung für , da gelten muss

Somit ergibt sich für der folgende Bereich

,

in dem die Übertragungsfunktion stabil ist.

c) Stationärer Endwert

Es gilt für , es wird also der stationäre Endwert der Sprunganwort betrachtet. Im Laplace-Bereich entspricht der Einheitssprung einem .

Somit gilt für den stationären Endwert

Setzt man die Übertragungsfunktion aus der Aufgabe a) ein ergibt sich

Somit ergibt sich der stationäre Endwert für den Fall zu

Für den Fall würde sich nach dem ermittelten Ausdruck in Abhängigkeit von ebenfalls ein stationärer Endwert ergeben. Jedoch ist die Übertragungsfunktion in diesem Fall instabil, somit existiert in diesem Fall auch kein stationärer Endwert, da der Zusammenhang zwischen stationärem Endwert im Zeit und Laplace-Bereich nur für stabile Systeme gilt.

Lösung: