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Aufgabenstellung:

Gegeben ist das folgende lineare und dimensionslose Zustandsraummodell:

mit

Hinweis: Alle Aufgabenteile sind unabhängig voneinander lösbar.

 

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte des linearen Systems. Ist das System stabil?
b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion in der Form

Das Zustandsraummodell ist eine linearisierte Form des FitzHugh-Nagumo Modells, mit dem die nichtlineare Dynamik des Membranpotentials einer Nervenzelle beschrieben werden kann ( Membranpotential Erholungsvariable, Anregungsstromstärke):

und sind konstant.

 

c) Wie lauten die Parameter und und der Arbeitspunkt für , für die das gegebene Zustandsraummodell mit dem Zustandsvektor gültig ist?

Hinweis:

Lösungsweg:

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a) Eigenwerte und Stabilität

Charakteristisches Polynom aufstellen:

Damit ergeben sich die Eigenwerte zu:

Alle Eigenwerte haben negativen Realteil Das System ist stabil

b) Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion kann aus den Systemmatrizen bestimmt werden:

c) Parameter und und der Arbeitspunkt

Zunächst werden die nichtlinearen Gleichungen linearisiert, um die Systemmatrix in Abhängigkeit der Unbekannten und zu bestimmen:

Ein elementweiser Vergleich mit der gegebenen Matrix im Arbeitspunkt ergibt:

Lösung: