Betrachtet wird die in der Abbildung gezeigte Kaffeemaschine, bestehend aus Kaffeefilter und Kaffeekanne.
Die zugehörige Dynamik lässt sich vereinfacht durch
beschreiben
Differentialgleichung für
Das lineare und zeitinvariante Modell der Systemdynamik ergibt sich aus den Massenbilanzen für den Filter und die Kanne.
Für den Filter gilt
Mit der angegebenen Annahme
folgt die Differentialgleichung für die erste Zustandsvariable
Für die Kaffeekanne gilt
woraus die Differentialgleichung für die zweite Zustandsvariable
a) Beweis: nicht asymptotisch stabil
Die Eigenwerte der Systemmatrix ergeben sich durch
zu
Begründung:
Ein Eigenwert ist Null, somit gilt nicht
Wäre das System asymptotisch stabil, so müsste bei nicht (mehr) vorhandenem Zufluss
b) Beobachtbarkeit
Um mit Hilfe kontinuierlicher Messungen des Ein- und Ausgangssignals eines Systems dessen Zustand rekonstruieren zu können, muss das System vollständig beobachtbar sein:
Von den beiden Zustandsvariablen wird nur der Füllstand der Kaffeekanne gemessen.
Somit ergibt sich die Ausgangsgleichung
Zusammen mit der Systemmatrix lässt sich daraus die Beobachtbarkeitsmatrix aufstellen:
Finale Begründung:
Für sinnvolle Werte der physikalischen Parameter gilt stets
c) Steuerbarkeit prüfen
Will man den Zustand
Die Steuerbarkeitsmatrix ergibt sich zu
Für sinnvolle Werte der physikalischen Parameter gilt stets
Somit müsste sich der Füllstand einer vollen Kaffeekanne