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Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die in der Abbildung gezeigte Kaffeemaschine, bestehend aus Kaffeefilter und Kaffeekanne.

Die zugehörige Dynamik lässt sich vereinfacht durch

beschreiben , wobei folgende Notation verwendet wurde:

Füllstandhöhe des Kaffeefilters
Füllstandhöhe der Kaffeekanne
Massenstrom des einfliessenden Wassers
Dichte von Wasser und Kaffee
Kaffeedurchsatzparameter
Grundfläche des Filters
Grundfläche der Kanne
Masse des eingefüllten Kaffeepulvers 

Abbildung

 Unter den Annahmen, die Dichte von Wasser und Kaffee sei identisch, Filter und Kanne zylindrische Körper und der Massenstrom des gefilterten Kaffees umgekehrt proportional zur Masse des eingefüllten Kaffeepulvers: , wobei

 

  1. Zeigen Sie mathematisch, dass das System nicht asymptotisch stabil ist. Was müsste nach erfolgreichem Lauf der Maschine mit dem Füllstand der Kanne passieren, wenn das System asymptotisch stabil wäre (ohne mathematische Begründung)?
  2. Angenommen, der Füllstand der Kaffeekanne wird kontinuierlich gemessen. Ausserdem ist das Eingangssignal (der zugeführte Wasserstrom) bekannt. Kann damit auf den Füllstand des Kaffeefilters geschlossen werden (mathematische Begründung)?
  3. Bei einer realen Kaffeemaschine kann eine volle Kaffeekanne allein durch Beeinflussung des zugeführten Wasserstroms nicht mehr geleert werden. Ihr Kollege behauptet nun, nach den Ergebnissen seiner Systemanalyse müsste dies jedoch möglich sein. Wie ist er vermutlich vorgegangen? Hat er sich verrechnet? Falls nicht: entdecken Sie bei ihm einen Denkfehler?

Lösungsweg:

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Differentialgleichung für und aufstellen

Das lineare und zeitinvariante Modell der Systemdynamik ergibt sich aus den Massenbilanzen für den Filter und die Kanne.

Für den Filter gilt

Mit der angegebenen Annahme

folgt die Differentialgleichung für die erste Zustandsvariable

Für die Kaffeekanne gilt

woraus die Differentialgleichung für die zweite Zustandsvariable folgt:

a) Beweis: nicht asymptotisch stabil

Die Eigenwerte der Systemmatrix ergeben sich durch

zu

Begründung:

Ein Eigenwert ist Null, somit gilt nicht und das System ist nicht asymptotisch stabil (wenn auch stabil).

Wäre das System asymptotisch stabil, so müsste bei nicht (mehr) vorhandenem Zufluss für den Zustand für alle Anfangsbedingungen gelten: (vgl. Definition). Das heisst, sowohl der Füllstand des Filters als auch der Füllstand der Kanne müssten nach Ausschalten der Maschine von selbst abklingen. Zum Glück tut Letzterer dies normalerweise nicht.

b) Beobachtbarkeit

Um mit Hilfe kontinuierlicher Messungen des Ein- und Ausgangssignals eines Systems dessen Zustand rekonstruieren zu können, muss das System vollständig beobachtbar sein:
Von den beiden Zustandsvariablen wird nur der Füllstand der Kaffeekanne gemessen.

Somit ergibt sich die Ausgangsgleichung

Zusammen mit der Systemmatrix lässt sich daraus die Beobachtbarkeitsmatrix aufstellen:

Finale Begründung:

Für sinnvolle Werte der physikalischen Parameter gilt stets . Somit hat vollen Rang und das System ist vollständig beobachtbar.

c) Steuerbarkeit prüfen

Will man den Zustand beginnend bei einem beliebigen Punkt durch Beeinflussung des Eingangs in endlicher Zeit in den Ursprung überführen , so muss das System vollständig steuerbar sein.

Die Steuerbarkeitsmatrix ergibt sich zu

Für sinnvolle Werte der physikalischen Parameter gilt stets somit hat vollen Rang und das System ist vollständig steuerbar.

Somit müsste sich der Füllstand einer vollen Kaffeekanne durch geeignete Beeinflussung des zufliessenden Wasserstroms auf Null bringen lassen. Im Rahmen des gegebenen Modells ist dies in der Tat möglich, allerdings nur durch ein Eingangssignal . Die bei einer realen Kaffeemaschine gegebenen Zustands- und Stellgrössenbeschränkungen wurden jedoch weder bei der Modellierung noch bei der Definition der Steuerbarkeit berücksichtigt. Solche Beschränkungen grenzen allerdings die Menge der steuerbaren Zustände ein - im vorliegenden Beispiel in einem solchen Masse, dass die Steuerbarkeitsaussage ihre praktische Verwertbarkeit weitgehend verliert. Die der Systemanalyse zugrunde gelegten Annahmen haben sich in diesem Zusammenhang zu weit von der Realität entfernt.

Lösung:

  1. nicht asymptotisch stabil
  2. vollständig beobachtbar
  3. vollständig steuerbar