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Aufgabenstellung:

Gegeben ist das dargestellte Signal .

Abbildung

Dieses wird mit abgetastet. Dabei ergibt sich für die Folge

 

Hinweis: Die Aufgabenteile a) und b) sind unabhängig voneinander lösbar


a) Bestimmen Sie und und zeichnen Sie in der Abbildung ein. 

Bei handelt es sich um die Impulsantwort einer Differenzengleichung der Form Der zeitdiskrete Impuls ist dabei als

definiert. Für ist

b) Bestimmen Sie die Koeffizienten und

Die Differenzengleichung wurde über Rückwärtsdifferenzen aus der Differentialgleichung des totzeitfreien System gewonnen. Die Abtastzeit ist .

c) Ermitteln Sie in Abhängigkeit von .

Sie stellen fest, dass die Impulsantwort von für kaum dynamische Ähnlichkeit mit hat.

d) Nennen Sie zwei wesentliche Gründe für dieses Phänomen. 

Lösungsweg:

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a) und bestimmen und zeichnen

und

Abbildung

b) Koeffizienten und

Zur Bestimmung der 4 unbekannten Koeffizienten muss die Differenzengleichung an 4 Zeitpunkten ausgewertet werden

c) in Abhängigkeit von

Mit den in Aufgabenteil b) bestimmten Koeffizienten ergibt sich folgende Differenzengleichung, die so umgeformt wird, dass die Terme höherer Ordnung Rückwärtsdifferenzen entsprechen

Nach Identifikation der Rückwärtsdifferenzen entspricht dies näherungsweise der DGL

Laplace-Transformation liefert die Übertragungsfunktion

d) Begründung

An 2 Stellen werden Fehler gemacht, die einen Informationsverlust über das ursprüngliche Signal bedeuten:

  • Die Abtastung verletzt das Shannon-Theorem, da Frequenzanteile oberhalb von hat.
  • Die Rückwärtsdifferenzenmethode bedeutet eine Näherung, die einen numerischen Fehler einführt.

Lösung:

  1. und
  2. siehe Musterlösung