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Aufgabenstellung:

Gegeben ist das System mit der Übertragungsfunktion

Es wird ebenfalls ein Standardregelkreis der Form

Abbildung

betrachtet.

Als Regler werden in diesem Fall zwei verschiedene Regler-Strukturen verwendet

  • PI-Regler:
  • PID-Regler:

  1. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit einem PI-Regler. Untersuchen Sie den Einfluss der Reglerparameter und auf das Verhalten der Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises.

  2. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit einem PID-Regler. Wie äußert sich der Einfluss des zusätzlichen Reglerparameters auf das Verhalten der Regelstrecke?

Lösungsweg:

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a)  Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit einem PI-Regler. Einfluss der Reglerparameter und auf das Verhalten der Sprungantwort

Zunächst wird die Übertragungsfunktion des PI-Reglers umgeformt

Aufgrund der Betrachtung eines Standardregelkreises ergibt sich die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises zu

Durch den I-Anteil des Reglers wurde der Regelkreis um ein freies I-Glied ergänzt. Somit arbeitet der geschlossene Regelkreis im Gegensatz zur reinen P-Regelung stationär genau.

Der Nenner der Gesamtübertragungsfunktion ergibt sich daraus zu

Somit ergibt sich die Gesamtübertragungsfunktion zu

Es zeigt sich, dass durch den PI-Regler der geschlossene Regelkreis um eine Nulstelle und eine Polstelle ergänzt wurde.

Abschließend wird noch der stationäre Endwert der Sprungantwort berechnet

Wie schon erwähnt, ist die erzielte Regelung in diesem Fall aufgrund des I-Anteils in dem Regler in jedem Fall stationär genau, unabhängig von der Wahl der Reglerparameter und . Für den Einfluss der Reglerparameter auf das dynamische Verhalten des Regelkreises.

b) Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit einem PID-Regler

Nun wird der PID-Regler betrachtet. Zunächst wird die Übertragungsfunktion des Reglers ebenfalls umgeformt

Da die Struktur des Regelkreises identisch zur Aufgabe a) ist, ergibt sich der offene Regelkreis zu

Damit ergibt sich der Nenner der Gesamtübertragungsfunktion zu

Somit ergibt sich die Gesamtübertragungsfunktion zu

Es zeigt sich, dass der PID-Regler im Gegensatz zum PI-Regler dem geschlossenen Regelkreis noch eine weitere Nullstelle hinzufügt. Für den Einfluss des zusätzlichen Parameters siehe Übungsfolien.

Lösung: