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Aufgabenstellung:

Gegeben ist das System

Das System soll im Folgenden mit einem PI-Regler

in einem Standardregelkreis geregelt werden.

  1. Bestimmen Sie die Nachstellzeit des Reglers so, dass die Polstelle bei der Regelstrecke kompensiert wird.
  2. Bestimmen Sie den Bereich für für den der geschlossene Regelkreis stabil ist.
  3. Wie wirken sich die Polkompensation und die Wahl der Reglerverstärkung auf die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises aus?

Lösungsweg:

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a) Nachstellzeit des Reglers

Zunächst wird die Reglerübertragungsfunktion passend umgeformt

Jetzt kann die Nachstellstellzeit des Integrators so gewählt werden, dass sich die Polstelle im offenen Regelkreis (Standardregelkreis) raus kürzt.

Aus diesem Grund wird die Nachstellzeit zu gewählt.

Für den offenen Regelkreis ergibt sich somit 

b) Bereich für für den der geschlossene Regelkreis stabil ist

Es wird ein Standardregelkreis betrachtet, daher gilt für die Gesamtübertragungsfunktion

Der Nenner der Übertragungsfunktion ergibt sich zu

Damit ergibt sich als Gesamtübertragungsfunktion

Für die Stabilitätsbetrachtung wird das Hurwitz-Kriterium verwendet. Die notwendige Bedingung ergibt

Daraus ergibt sich, dass für Stabilität gelten muss.

Weiterhin ergibt sich aus der hinreichenden Bedingung

Damit ergibt sich, dass zusätzlich gelten muss.

Somit folgt, dass der Reglerparameter im Intervall

liegen muss, damit der geschlossene Regelkreis stabil ist.

c) Auswirkung der Polkompensation und die Wahl der Reglerverstärkung auf die Sprungantwort

Der stationäre Endwert der Sprungantwort ergibt sich zu

Der geschlossener Regelkreis ist durch das zusätzlich eingebrachte freie I-Glied im offenen Regelkreis in jedem Fall stationär genau, unabhängig von der Reglerverstärkung. Durch Vergrößerung der Reglerverstärkung wird die Anregelzeit bzw. Ansprechzeit des Regelkreises kleiner, jedoch steigt auch das Überschwingen.

Lösung:

  3. siehe Musterlösung