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Aufgabenstellung:

Gegeben sei folgende Regelstrecke:

Störungen treten vor allem im Frequenzband bis auf. Das auftretende Rauschen ist sehr hochfrequent: . Die Übertragungsfunktion der Unsicherheitsschranke ist gegeben durch:

Ein Regler soll so ausgelegt werden (nicht Teil dieser Aufgabe), dass ein stabiler geschlossener Regelkreis resultiert und dass Störungen und Rauschen genügend stark unterdrückt werden. Modellunsicherheiten können die Durchtrittsfrequenz weiter einschränken und müssen entsprechend mitberücksichtigt werden.

Existiert ein Regler der diese Regelaufgabe erfüllen kann? Ist eine konservative Einschränkung der Durchtrittsfrequenz möglich? Begründen Sie Ihre Anwort anhand der für diese Aufgabenstellung relevanten Frequenzen.

Lösungsweg:

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Die Störungen im genannten Frequenzbereich müssen durch das Regelsystem um den Faktor 10 reduziert werden. Für die Durchtrittsfrequenz muss dann gelten:

.

Das Rauschen ist sehr hochfrequent . Die Separation von Störungen und Rauschen ist möglich. Es liegen mehr als 2 Dekaden dazwischen. Für die Durchtrittsfrequenz muss gelten:

.

Um die Regelstrecke im Frequenzbereich analysieren zu können, muss zuerst die Übertragungsfunktion des Systems berechnet werden. Dabei wird zuerst angenommen, dass das Eingangssignal totzeitfrei ist, also . Da sich die Totzeit direkt am Eingang befindet, kann sich nach der Berechnung der totzeitfreien Übertragungsfunktion als serielles Element hinzumultipliziert werden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten zu bestimmen:

  1. Laplace-Transformation aller Gleichungen (mit Annahme ), Auflösen des linearen Gleichnugssystems.
  2. Bestimmen der Zustandsraumdarstellung des Systems, Berechnen der Übertragungsfunktion mit .
  3. Sehen, dass die Struktur der Systemmatrizen der Reglernormalform entspricht. Entsprechend kann daraus direkt die Übertragungsfunktion abgelesen werden.

Exemplarisch wird die 2. Vorgehensweise aufgezeigt.

Mit der Totzeit ergibt sich die Übertragungsfunktion

Einschränkungen durch instabile Pole

Die betrachtete Strecke hat einen instabilen Pol bei . Damit der Regler die Strecke stabilisieren kann, muss mindestens gelten:

Einschränkungen durch nicht-minimalphasige Nullstellen

Die betrachtete Regelstrecke hat eine nicht-minimalphasige Nullstelle bei Die nicht-minimalphasige Nullstelle begrenzt die Durchtrittsfrequenz von oben. Es muss gelten:

Einschränkungen durch Totzeit

Die Totzeit beschränkt die Durchtrittsfrequenz ebenfalls von oben. Es muss gelten:

.

Einschränkungen durch Modellunsicherheit

Aus der Übertragungsfunktion ist ersichtlich, dass das Modell frühstens bei der Frequenz eine Unsicherheit von aufweist, d.h. . Die Durchtrittsfrequenz von gibt ebenfalls eine obere Schranke für die Durchtrittsfrequenz: .

Die folgende Abbildung zeigt die besprochenen Frequenzverhältnisse.

Abbildung

Schlussfolgerung: Zusammengefasst ergeben die obigen Bedingungen die folgende Ungleichnung:

Diese Ungleichung kann erfüllt werden. Somit kann ein Regler gefunden werden. Das Frequenzband ist allerdings sehr eng. Für konservativere Auslegungen (z.B. Faktor 5 anstatt 2) kann kein Regler gefunden werden.

Lösung:

siehe Musterlösung