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Aufgabenstellung:

Gegeben sei eine Regelstrecke

Sie benutzen einen P-Regler der Form:

  1. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises , die das Verhalten des Systems von Referenzsignal auf das Ausgangssignal beschreibt. Verwenden Sie dabei für die Übertragungsfunktion der Kreisverstärkung.
  2. Ist der geschlossene Regelkreis für folgende Verstärkungen asymptotisch stabil?
  3. Ab welcher kritischen Verstärkung wird der geschlossene Regelkreis instabil? Diskutieren Sie die beiden anderen Fälle mit und .

Tipp: Nutzen Sie dafür Ihre Kenntnisse des Nyquist Stabilitätskriteriums: Bereits ohne dass Sie die Nyquist-Kurve kennen, wissen Sie, dass die Anzahl Umrundungen von um den Punkt in der komplexen Ebene unterschiedlich ist für die beiden gebebenen Werte von , denn führt zu einem stabilen , während zu einem instabilen führt. Sie wissen auch, dass linear in ist, das bedeutet, dass den Abstand der Nyquist-Kurve zum Ursprung der komplexen Ebene linear skaliert. Um zu finden, können Sie also für den stabilen Fall den Schnittpunkt zwischen der NyquistKurve und der reellen Achse finden und dann berechnen, um wieviel Sie grösser machen können, bis die Anzahl Umdrehungen um den Punkt sich ändert.

Lösungsweg:

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a) Übertragungsfunktion

Kreisverstärkung

bestimmen

b) Asymptotische Stabilität

ist die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises. Ihre Pole sind gegeben durch:

i) Fall :

Die Pole sind:

Der geschlossene Regelkreis ist asymptotisch stabil, da alle Pole einen negativen Realteil haben.

ii) Fall :

Die Pole sind:

Der geschlossene Regelkreis ist instabil, da mindestens ein Pol einen positiven Realteil hat (hier haben zwei Pole einen positiven Realteil).

c) kritischen Verstärkung  

Bemerkung:

Um die Nyquistkurve zu zeichnen, wird im Folgenden zuerst die Charakteristik der Übertragungsfunktion studiert. Die Kreisverstärkung kann ausgedrückt werden durch eine Serieschaltung eines (stabilen) Systems erster Ordnung und eines (stabilen) schwach gedämpften Systems zweiter Ordnung. Das System hat damit den relativen Grad , womit die Nyquistkurve mit einem Phasenwinkel von in den Ursprung laufen wird.

Für die Beurteilung der Stabilität ist es nun wichtig zu wissen, ob die Kurve links oder rechts vom Nyquistpunkt vorbeigeht. Um dies herauszufinden, betrachten wir die Kreisverstärkung bei der kritischen Frequenz , also bei der Frequenz, wo die Nyquistkurve die reelle Achse schneidet. Die Nyquistkurve schneidet genau dort die reelle Achse, wo der Imaginärteil der Frequenzantwort verschwindet.

Im vorliegenden Fall kann diese Bedingung ausgewertet werden, wenn der Imaginärteil des Nenners auf Null gesetzt wird:

Die Lösung erfüllt zwar die obige Gleichung auch, aber diese Lösung entspricht nicht der gesuchten Lösung.

Die Kreisverstärkung bei der Frequenz ist:

Wir haben bereits gesehen, dass der geschlossene Regelkreis für asymptotisch stabil ist. Wenn die Verstärkung nun zu gross gewählt wird, passiert die Nyquist-Kurve den Nyquistpunkt und es gibt eine Umrundung dieses Nyquistpunkts.

Der Grenzfall ist also der Fall, bei dem die Nyquist-Kurve durch geht, d.h.

Bei einer kritischen Verstärkung geht also die Nyquist-Kurve durch den kritischen Punkt und für wird der geschlossene Regelkreis instabil.

Nachfolgende Abbildungen zeigen das Nyquist-Diagramm für und .

Abbildung

Abbildung

Abbildung

Lösung:

  2. i) Fall : asymptotisch stabil
    ii) Fall : instabil

  3.