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Aufgabenstellung:

Von einem Regelsystem mit einem PID-Regler ist das Bode Diagramm vom offenen Regelkreis in der Abbildung gegeben. Der geschlossene Regelkreis verhält sich ungefähr wie ein System zweiter Ordnung. Die Sprungantwort des Regelsystems ist wegen zu grossem Überschwingen noch nicht befriedigend. Der Überschwinger soll halbiert werden. Dazu soll der Regler mit einem Lead/Lag-Element erweitert werden. Um die Anstiegszeit, nicht zu verändern, soll die Durchtrittsfrequenz gleich bleiben.

Abbildung

a) Berechnen Sie die notwendige Phasenreserve. Verwenden Sie dazu das gegebene Bode Diagramm vom offenen Regelkreis und die Anforderung an das maximale Überschwingen.
b) Um wie viel muss die Phase angehoben werden, und bei welcher Frequenz muss dieser Phasengewinn stattfinden?
c) Berechnen Sie aus diesen Anforderungen die Parameter und des Lead/Lag-Elementes.

Beachten Sie vorerst nur die Phase der Kreisverstärkung und ignorieren Sie, dass das Lead/Lag-Element auch den Betrag der Kreisverstärkung beeinflusst.

d) Durch das Lead/Lag-Element hat sich der Betrag der Kreisverstärkung verändert und damit hat sich die Durchtrittsfrequenz verändert. Passen Sie die Reglerverstärkung so an, dass die ursprüngliche Durchtrittsfrequenz wiederhergestellt wird.

Lösungsweg:

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a) Phasenreserve

Aus dem Bode Diagramm kann die Phasenreserve abgelesen werden

Mit der Annahme, dass ein System 2. Ordnung vorliegt, können der alte und neue Überschwinger berechnet werden

Damit das Regelsystem nur noch halb soviel überschwingt, muss die Phasenreserve angehoben werden.

b) Anheben der Phase und Frequenz bei der Phasengewinn stattfindet 

Bei der Durchtrittsfrequenz muss die Phase erhöht werden.

Die Durchtrittsfrequenz kann aus dem Bode Diagram abgelesen werden

c) Parameter und

Da die Phase angehoben werden muss, muss ein Lead-Element der Form

mit verwendet werden. Der Phasenanstieg soll bei der Durchtrittsfrequenz geschehen, es folgt somit .

Die Parameter des Lead-Elements berechnen sich wie folgt:

d) Anpassung der Reglerverstärkung

Damit sich die Durchtrittsfrequenz und somit die Anstiegszeit nicht ändern, muss die Reglerverstärkung angepasst werden. Die Verstärkung des Lead-Elements bei der Durchtrittsfrequenz beträgt:

Die neue Reglerverstärkung beträgt demnach

.

Die Abbildung zeigt das Bode Diagramm der beiden Kreisverstärkungen.

Abbildung

Die Sprungantworten der geschlossenen Regelsysteme sind in der folgenden Abbildungen eingezeichnet.

Sprungantworten beider Regelsysteme

Lösung: