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Aufgabenstellung:

Sie vermessen das Sonnenspektrum auf der Erde. Als Maximum Ihrer Verteilung erhalten Sie und als Bestrahlungsstärke .

  1. Wie groß ist der Abstand zwischen Erde und Sonne, wenn Sie davon ausgehen, dass die Sonne ein Schwarzkörper ist, der isotrop in alle Richtungen strahlt und einen Radius von besitzt?
  2. Wie groß ist die Bestrahlungsstärke auf dem Mars, wenn dieser entfernt ist?
  3. Welche Temperatur würden Sie auf dem Mars erwarten, wenn Sie diesen als Schwarzkörper im thermischen Gleichgewicht annehmen und er einen Radius von besitzt?

Lösungsweg:

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a) Abstand zwischen Erde und Sonne

Mit dem Wien'schen Gesetz lässt sich zunächst die Temperatur der Sonne errechnen:

wobei die Wiensche Verschiebungskonstante bezeichnet.

Die Gesamte Strahlungsleistung der Sonne lässt sich aus dem Stefan-Boltzmann Gesetz berechnen:

wobei die Stefan-Boltzmann Konstante und die Sonnenoberfläche bezeichnet.

Unter der Annahme, dass sich die Strahlungsleistung isotrop über den Raum ausbreitet erhält man die Bedingung

wobei die Oberfläche einer Kugel ist mit Radius Abstand zwischen Erde und Sonne

Aufgelöst auf diesen Abstand erhält man

b) Bestrahlungsstärke auf dem Mars

Gleichung der Strahlungsleistung gilt für alle Abstände bei ihrer jeweiligen Bestrahlungsstärke.

Aufgelöst auf die gesuchte Bestrahlungsstärke des Mars ergibt sich:

wobei der Abstand zwischen Sonne und Mars ist.

c) Temperatur auf dem Mars

Ein Schwarzer Körper befindet sich im thermischen Gleichgewicht, wenn die absorbierte Leistung gleich der emittierten Leistung ist.

Der Mars absorbiert die ankommende Strahlung über seinen kreisförmigen Querschnitt, emittiert jedoch isotrop in alle Raumrichtungen, also über seine gesamte Kugeloberfläche. Die emittierte Leistung ist außerdem durch das Stefan-Boltzmann Gesetz proportional zu dessen Temperatur :

Aufgelöst nach der Temperatur erhält man:

Lösung: