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Aufgabenstellung:

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In einem Zylinder ist unter einem Kolben (Masse vernachlässigbar; Querschnittsfläche ) das Gas Stickstoff bei der Temperatur eingeschlossen. Da der Kolben leicht beweglich ist, ist der Innendruck gleich dem Außendruck bar. Der Kolben steht in der Höhe .
Eine Person drückt nun mit der Hand den Kolben nach unten, bis die Kraft, die sie ausüben muss, auf angewachsen ist. Dies geschieht so rasch, dass das eingeschlossene Gas eine isentrope Zustandsänderung erfährt. Dann wird die Kraft der Hand durch die Gewichtskraft einer auf den Kolben gelegten Körper der Masse entsprechender Größe ersetzt (vgl. Skizze).
In diesem Kräftegleichgewicht, herrscht nun im Gas der Druck , der Kolben steht in der Höhe die Gastemperatur beträgt . Danach kühlt sich das Gas bei konstantem Druck auf die Anfangstemperatur ab; der Kolben sinkt dabei auf die Höhe ab.

  1. Bestimmen Sie den Druck und die Kolbenhöhe .

  2. Welche Temperatur stellt sich ein?

  3. Auf welche Höhe sinkt der Kolben?

  4. Welche Stoffmenge ist im Zylinder eingeschlossen?

  5. Welche Arbeit wird bei der ersten Kompression ( auf ), welche Arbeit bei der zweiten Kompression ( auf ) und welche Arbeit insgesamt am Gas verrichtet?

Lösungsweg:

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Vorbemerkung

Die beiden Zustandsänderungen des Gases sind

  • '1' → '2' : Isentrope Kompression,
  • '2' → '3' : Isobare Kompression.

Grafische Darstellung im -Diagramm

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(a) Bestimmung von Druck und Kolbenhöhe .

Da sich alle Prozesse in einem Zylinder abspielen, ist das Volumen stets proportional zur Kolbenhöhe und immer darstellbar als

Der Druck ist die Summe aus dem Stempeldruck der Kraft auf die Querschnittsfläche und dem äußeren Luftdruck

Der Isentropenexponent ergibt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade der Moleküle des betrachteten Gases. Stickstoff ist ein zweiatomiges Molekül, bei dem im Bereich der Raumtemperatur die Freiheitsgrade der Translation und der Rotation angeregt sind. Die Anzahl der Freiheitsgrade wird

Daraus ergibt sich der Isentropenexponent

Die Isentropengleichung, die Drücke und Volumina miteinander verknüpft, lautet

Also

(b) Temperatur

Die Zustandsgleichung verknüpft die Zustandsgrößen und für eine vorgegebene Stoffmenge für die beiden Zustände '1' und '2' gemäß

daraus ergibt sich

Damit

Alternative

Man bestimmt zunächst die Stoffmenge des Gases aus den Zustandsgrößen des Zustands '1' (vgl. Teilaufgabe (d)). Die Zustandsgleichung eines idealen Gases für den Zustand '1' liefert dann die zugehörige Temperatur

(c) Höhe

Für den isobaren Prozess '2' '3' gilt

Oder

mit der Zusatzforderung

erhält man

(d) Stoffmenge

Die Zustandsgleichung eines idealen Gases für den Zustand '1' liefert die Stoffmenge

(e) , und  

Für die verrichtete Arbeit beim isentropen Prozess '1' '2' gilt nach dem 1. Hauptsatz

Die molare isochore Wärmekapazität bestimmt sich aus zu

Damit

Für die umgesetzte Arbeit beim isobaren Prozess ' 2 ' '3' gilt

Damit wird die insgesamt umgesetzte Arbeit

Lösung:

  1. bar