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Aufgabenstellung:

Ein ideales zweiatomiges Gas (starres Hantelmodell) ist in einem vollständig wärmeisolierten Zylinder eingeschlossen. Der Zylinderquerschnitt ist . Der Zylinder wird durch einen Kolben (Masse ) abgeschlossen. Der Kolben ist anfangs bei der Höhe fest verriegelt (vgl. Skizze 1). Die Temperatur des eingeschlossenen Gases ist , der Druck bar .

a) Welche Stoffmenge des Gases ist in dem Zylinder eingeschlossen?

Der Kolben wird nun plötzlich entriegelt. Er bewegt sich danach beschleunigt und reibungsfrei nach oben. Dabei schließt der Kolben gasdicht ab (vgl. Skizze 2). Der äußere Luftdruck ist bar

b) Wie hängen der Druck und die Temperatur des Gases von der Kolbenhöhe ab?

c) Geben Sie die resultierende Kraft auf den Kolben an.
Für welche Kolbenhöhe ist die resultierende Kraft auf den Kolben null?
Welche Temperatur gehört dazu?

d) Geben Sie die Kolbenhöhe an, bei der die Geschwindigkeit des Kolbens am größten ist.

e) Bestimmen Sie allgemein die Kolbengeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe . (Hinweis: Energiesatz benutzen.)

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Lösungsweg:

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(a) Stoffmenge des Gases die in dem Zylinder eingeschlossen ist

Die Zustandsgleichung eines idealen Gases lautet für den Anfangszustand '0'

Daraus ergibt sich die Stoffmenge

(b)  Abhängigkeit und des Gases von der Kolbenhöhe  

Der Vorgang erfolgt rasch und damit ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung. Für isentrope Zustandsänderungen in einem adiabaten System gelten die POISSONschen Gleichungen, die jeweils zwei Zustandsgrößen und den Isentropenkoeffizienten des betrachteten Gases enthalten. Die speziellen Isentropengleichungen sind

Die jeweiligen Konstanten ergeben sich aus den Zustandsgrößen des Systems im Anfangszustand '0' :

Der Isentropenexponent ergibt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade der Moleküle des betrachteten Gases. Für ein zweiatomiges Molekül, bei dem im Bereich der Raumtemperatur die Freiheitsgrade der Translation und der Rotation angeregt sind, ist die Anzahl der Freiheitsgrade

Daraus ergibt sich der Isentropenexponent

Die Volumina und sind bei einem konstantem Querschnitt (zylindrisches Gefäß) proportional zu y bzw. , also

Damit werden aus den Isentropengleichungen, die die Volumina enthalten

die Isentropengleichungen, die die -Koordinaten enthalten

daraus ergibt sich

und

(c) , und bei dem gleich 0 ist

Die Definition des Druckes als Quotient aus wirkender Normalkraft und zugehöriger Fläche liefert für die Beträge der Kraft auf den Kolben folgende Beiträge

  • in positive -Richtung
  • in negative -Richtung

Damit

Eine (resultierende) Kraft auf den Kolben bewirkt dessen Beschleunigung nach dem NEWTONSchen Aktionsgesetz

Der resultierenden Kraft , und damit der Beschleunigung , sei die Kolbenhöhe zugeordnet. Also gilt

Für den Druck ist dabei das Ergebnis aus Teilaufgabe (b) einzusetzen

damit wird

und

Die zugehörige Temperatur ergibt sich mit dem Teilergebnis aus Teilaufgabe (c)

(d) Kolbenhöhe  

Es muss gelten

(also der Kolbenhöhe, bei der ist.)

Begründung: Für wird , also negativ; d. h. der Kolben wird abgebremst, also wieder langsamer.
Die Geschwindigkeit hat einen Extremwert, wenn ihre zeitliche Änderung gleich null ist. Wegen

ist dies dann der Fall, wenn die Beschleunigung und die resultierende Kraft gleich null sind.

(e)

Die Energiebilanz liefert: Der Betrag der Abnahme der Inneren Energie ist gleich der Zunahme der kinetischen Energie und potentiellen Energie der Lage des Kolbens plus der Arbeit , die der Kolben gegen den äußeren Luftdruck verrichtet.

Die Abnahme der inneren Energie ist

Die Hubarbeit zum Anheben des Kolbens ist

Die Arbeit gegen den konstanten äußeren Luftdruck ist

Die kinetische Energie des bewegten Kolbens ist

Zusammengenommen ergibt sich damit die Energiebilanz

Einsetzen der oben aufgestellten Beziehungen liefert

Damit wird die Geschwindigkeit des Kolbens

Lösung:

  1. .

  2. .

  3. ; , .

  4. .