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Aufgabenstellung:

In einem durch einen Kolben abgeschlossenen Zylinder ist die Stoffmenge eines idealen zweiatomigen Gases eingeschlossen. Die Zustandsgrößen im Anfangszustand '1' sind: Druck bar ; Volumen Temperatur .

 

a) Welche mittlere kinetische Energie der Translation hat ein Molekül des Gases im Anfangszustand ' 1 '?

Anschließend wird das Gas in zwei auf einander folgenden Prozessen erwärmt; dies geschieht unter den folgenden Versuchsbedingungen:

  • Von einem Zustand ' 1 ' in einen Zustand ' 2 ' - bei festgehaltenem Kolben auf den Druck
  • Von einem Zustand ' 2 ' in einen Zustand ' 3 ' - bei konstantem Druck auf das Volumen

b) Skizzieren Sie qualitativ diese beiden Prozesse in einem pV-Diagramm.

c) Bestimmen Sie die Temperaturen und .

d) Berechnen Sie für den Prozess ' 1 ' ' 2 ' die umgesetzte Wärme und die Volumenänderungsarbeit .

e) Berechnen Sie für den Prozess ' 2 ' ' 3 ' die umgesetzte Wärme und die Volumenänderungsarbeit .

Lösungsweg:

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(a) mittlere kinetische Energie

Die mittlere kinetische Energie der Translation eines Moleküls - mit drei Freiheitsgraden der Translation - hängt nur von der absoluten Temperatur ab; es gilt

Boltzmann Konstante 

Die Anfangstemperatur erhält man aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases für den Zustand ' 1 ', also

Für die Anfangstemperatur wird 

(b) pV-Diagramm

Die beiden beschriebenen speziellen Zustandsänderungen sind

Prozess ' '1' '2': isochor; mit

Prozess '2' '3' : isobar; mit .

Skizze des -Diagramms (nicht-maßstäblich); eingezeichnet sind als Hilfslinien die Isothermen für die Temperaturen und mit .

diagramm

(c) und

Bestimmung der Temperatur

Bei einer isochoren Zustandsänderung vereinfacht sich - für ein geschlossenes System - die Zustandsgleichung eines idealen Gases auf

Also gilt für den Prozess ' 1 ' ' 2 '

mit der Zusatzforderung

daraus wird

Bestimmung der Temperatur

Geht man vom Zustand '2' aus, dann ergibt sich die Temperatur im Zustand '3' aus der Forderung 'isobare Prozessführung' für den Prozess '2' '3'. Die spezielle Zustandsgleichung vereinfacht sich auf

also gilt

mit der Zusatzforderung

damit wird

Alternativer Lösungsweg

Will man die Benutzung eines Zwischenergebnisses (hier der Temperatur ) vermeiden, dann nutzt man die Zustandsgleichung eines idealen Gases für den Zustand '3'; denn für einen Zustand ist es unerheblich auf welchem thermodynamischen Weg er erreicht wurde. Die Zustandsgleichung

ergibt

Zwischenüberlegungen für die Teilaufgaben (d) und (e)

Die Ergebnisse dieser Teilaufgaben (d) und (e) sind nicht unabhängig voneinander. Die Änderung der Inneren Energie , die umgesetzte Wärme und die umgesetzte Arbeit sind über den 1. Hauptsatz miteinander verknüpft; es gilt allgemein (mit 'A' für Anfangszustand und 'E' für Endzustand)

Hat man zwei der physikalischen Größen und unabhängig voneinander bestimmt, dann erhält man die Dritte aus dem 1. Hauptsatz. Zur Probe kann natürlich dann die dritte Größe ebenfalls unabhängig bestimmt werden. Dabei ist die Änderung der Inneren Energie nur abhängig von der Temperaturdifferenz der beiden Zustände, gemäß

Für die Volumenänderungsarbeit gilt allgemein (Vorzeichenkonvention berücksichtigt)

Für die Bestimmung zugeführter Wärmen und den Änderungen der Inneren Energie benötigt man die molaren Wärmekapazitäten und Diese bestimmen sich aus den Freiheitsgraden eines zweiatomigen Moleküls. Nimmt man für die Moleküle an, dass im betrachteten Temperaturbereich auch die Freiheitsgrade der Rotation angeregt sind, dann ist die Anzahl der Freiheitsgrade

Die molare isochore Wärmekapazität bestimmt sich aus zu

Die molare isobare Wärmekapazität bestimmt sich aus zu

(d) und

Für den isochoren Prozess ' 1 ' ' 2 ' liefert der 1. Hauptsatz der Wärmelehre

Es wird keine Volumenänderungsarbeit verrichtet; weil sich das Volumen des Gases nicht ändert, deshalb ist

Die zugeführte Wärme erhöht die Innere Energie des Gases gemäß

e) und

Für den isobaren Prozess '2' '3' gilt für die zugeführte Wärme

für die Volumenänderungsarbeit mit

erhält man

Lösung:

  2. siehe Musterlösung