Bilanzgleichungen - Wärmeenergie

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Aufgabenstellung:

Ein mit einem unbekannten, zweiatomigen Gas gefülltes Glasgefäß ist mit einem offenen U-Rohr-Manometer verbunden. Das Manometer ist mit einer Flüssigkeit der Dichte gefüllt ist (vgl. Skizze).

Der Innendurchmesser der Röhrchen ist . Anfangs stehen die beiden Flüssigkeitsspiegel auf gleicher Höhe ; dabei hat das Gas insgesamt das Volumen . Der äußere Luftdruck ist .
Die Temperatur der gesamten Anordnung ist zu Beginn .

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a) Berechnen Sie die Stoffmenge und die Anzahl der Moleküle des Gases im Gefäß.

Mit Hilfe eines kurzen Stromstoßes durch eine Heizwicklung im Gefäß (vgl. Skizze) wird dem Gas Wärme zugeführt. Die Flüssigkeitsspiegel im Manometer verschieben sich in den beiden Schenkeln jeweils um und bleiben dort einige Zeit stehen.

b) Berechnen Sie die den Druck , das Volumen und die Temperatur des Gases nach dem Stromstoß.

c) Skizzieren Sie diesen Prozess in einem -Diagramm; tragen Sie qualitativ den Anfangszustand und den Endzustand ein und verbinden Sie diese beiden Zustände vereinfachend linear durch eine Gerade.

d) Wie groß ist die umgesetzte Arbeit bei diesem Prozess? Wurde sie dem Gas zugeführt oder vom Gas abgegeben?

In der Heizwicklung wurde durch den Stromstoß die JouLEsche Wärme erzeugt.

e) Berechnen Sie die vom Gas aufgenommene Wärme und die während der Ausdehnung über die Gefäßwände nach außen abgegebenen Wärmeverluste

Lösungsweg:

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(a) Stoffmenge und die Anzahl

Die Zustandsgleichung eines idealen Gases liefert für den Anfangszustand 'A' mit

und

(b) , und

Der Druck im Zustand ' ' ist gegen um erhöht, die Differenz ergibt sich aus der Höhe der Flüssigkeitssäule zu

damit wird

Das Volumen im Zustand 'E' ist gegen um vergrößert, die Differenz ergibt sich aus der Geometrie (Volumen eines Zylinders) zu

damit wird das Volumen im Zustand 'E'

Die KELVIN-Temperatur im Zustand 'E' wird

Die zugehörige CELSIUS-Temperatur ist .

Die umgesetzte Arbeit wird durch die Fläche unter der Kurve (vereinfachend eine Gerade) repräsentiert; dies ist die Fläche eines Trapezes,

Skizze

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Bei einer Expansion nimmt das Volumen zu, also ergibt sich für ein negatives Vorzeichen. Nach der Vorzeichenkonvention heißt das 'Arbeit wird vom System abgegeben'.
Der Wert des Integrals wird durch die Fläche eines Trapezes repräsentiert.

Die Fläche ergibt sich zu

Damit wird unter Berücksichtigung des Vorzeichens

(e) aufgenommene Wärme und nach außen abgegebenen Wärmeverluste

Die dem System durch den Stromstoß zugeführte JOULEsche Wärme dient

der Erhöhung der Inneren Energie des Gases,
der bei Expansion des Gases abgegebenen Arbeit ,
der Abgabe von Verlustwärme an die Umgebung.

Die dem Gas zugeführte Wärme erhält man aus dem 1. Hauptsatz

Zur Berechnung der Änderung der Inneren Energie braucht man die molare isochore Wärmekapazität diese ergibt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade für ein starres zweiatomiges Molekül bei dem auch Rotationen angeregt sind. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist

Die molare isochore Wärmekapazität (zweiatomig) bestimmt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade (zweiatomig) zu

Damit wird die Änderung der Inneren Energie

Die dem Gas zugeführte Wärme wird nach dem 1. Hauptsatz

Für die Bilanz der umgesetzten Wärmen gilt

damit folgt für die an die Umgebung abgegebene Wärmeverluste schließlich

Lösung:

; .
; ; ; bzw. .
siehe Musterlösung;
;