Bilanzgleichungen - Wärmeenergie

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Aufgabenstellung:

Eine Traglufthalle hat, prall aufgeblasen, ein Volumen Die Hülle sei abgeschlossen und dicht, es soll keine Luft entweichen oder zugeführt werden können. Der Druck in der Halle sei stets gleich dem Außendruck $ß$ bar; dieser Druck ändere sich bei den im Folgenden angegebenen Prozessen nicht.
In der Halle wird eine Anfangstemperatur gemessen. Die Hülle ist dabei schlaff und die eingeschlossene Luft nimmt des Prallvolumens ein.
Anschließend wird die Halle durch Heizlüfter erwärmt; dabei strafft sich die Hülle. Die Heizung wird abgeschaltet, wenn das Luftvolumen gleich dem Prallvolumen geworden ist. Wärmeverluste nach außen sollen vereinfachend unberücksichtigt bleiben. Luft besteht im Wesentlichen aus zweiatomigen Molekülen (also Sauerstoff und Stickstoff).
Bestimmen Sie für den beschriebenen Aufwärmvorgang mit den genannten Vereinfachungen.

Die Endtemperatur der Hallenluft.
Die von den Heizlüftern aufzubringende Wärme .
Die verrichtete Volumenänderungsarbeit .
Die Änderung der Inneren Energie .

Lösungsweg:

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Die Zustandsgrößen für den Anfangszustand 'A' und den Endzustand 'E' des Aufwärmvorgangs sind

$ß$

(a) Endtemperatur der Hallenluft

Der Aufwärmvorgang soll ohne Druckänderung, also 'isobar' erfolgen. Die Zustandsgleichung eines idealen Gases

liefert für eine isobare Zustandsänderung

Die Temperatur im Zustand 'E' ergibt sich damit aus der Forderung

also

Die Endtemperatur auf der CELSIUS-Skala ist

Zwischenüberlegung

Die Teilaufgaben (b), (c) und (d) sind nicht unabhängig voneinander. Die Änderung der Inneren Energie , die umgesetzte Wärme und die umgesetzte Arbeit sind über den 1. Hauptsatz miteinander verkoppelt.

Hat man zwei der drei physikalischen Größen und unabhängig voneinander bestimmt, dann erhält man die dritte Größe aus dem 1. Hauptsatz. Zur Probe kann natürlich dann diese dritte physikalische Größe ebenfalls unabhängig bestimmt werden.

Bestimmung der Teilchenmenge

Auf jeden Fall braucht man die Teilchenmenge der eingeschlossenen Luft, deren Moleküle als zweiatomig behandelt werden.

Die Teilchenmenge ergibt sich aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases für den Anfangszustand 'A'

(b) aufzubringende Wärme

Für eine isobare Zustandsänderung wird die umgesetzte Wärme

Die molare isobare Wärmekapazität bestimmt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade eines idealen zweiatomigen Gases. Nimmt man für das zweiatomige Molekül an, dass im betrachteten Temperaturbereich auch die Freiheitsgrade der Rotation angeregt sind, dann ist die Anzahl der Freiheitsgrade

Die molare isobare Wärmekapazität (zweiatomig) bestimmt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade zweiatomig zu

Damit wird

Die Volumenänderungsarbeit für einen Prozess 'A' 'E' ist gegeben durch die Definition (dabei ist die Vorzeichenkonvention berücksichtigt)

Für einen isobaren Prozess ist $ß$ const. ; also wird

$ß ß$

(d)

Die Innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der absoluten Temperatur ab. Für die Änderung der Inneren Energie gilt

Die molare isochore Wärmekapazität (zweiatomig) bestimmt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade (zweiatomig) zu

Also wird

Probe: Verknüpfung der Ergebnisse der Teilaufgaben (a), (b) und (c)

Die Änderung der Inneren Energie , die umgesetzte Wärme und die umgesetzte Arbeit sind über den 1. Hauptsatz mit einander verknüpft, gemäß

Ergebnis der Teilaufgabe (b)

Ergebnis der Teilaufgabe (c)

Ergebnis der Teilaufgabe (d)

Die vom 1. Hauptsatz geforderte Bilanz ist damit - wie es sein soll - ausgeglichen.

Lösung:

bzw. .
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