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Aufgabenstellung:

Ein geschlossener, schlaffer Versuchsballon enthält beim Druck bar und der Temperatur die Teilchenmenge des (einatomigen) Gases Helium. Das Anfangsvolumen ist . Beim raschen Aufstieg sinkt der Druck in- und außerhalb des Ballons auf den Wert bar, ohne dass dabei durch die Ballonhülle Wärme ausgetauscht wird; bei dieser isentropen Expansion steigt das Gasvolumen auf den Wert und es sinkt die Temperatur auf . Anschließend heizt sich der Ballon durch Sonneneinstrahlung auf; das Gas wird dabei isobar auf die Anfangstemperatur erwärmt. Das Volumen steigt dabei von auf . (Das Gas im Ballon soll keine räumlichen Temperaturunterschiede aufweisen!)

  1. Skizzieren Sie qualitativ - also nicht maßstäblich - den Verlauf der beiden Zustandsänderungen in einem -Diagramm.
  2. Bestimmen Sie das Anfangsvolumen des Ballons.
  3. Auf welches Volumen expandiert das Gas isentrop?
  4. Welche Temperatur hat das Gas nach der Expansion?
  5. Welches Endvolumen stellt sich ein?
  6. Welche Wärme ist bei der Erwärmung von auf zugeführt worden?

Lösungsweg:

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Allgemeine Grundlagen

Das Heliumgas in der Ballonhülle darf als ein ideales Gas behandelt werden. Das Gas wird nacheinander zwei Zustandsänderungen unterworfen. Die in dem geschlossenen Ballon eingeschlossene Teilchenmenge des Heliums ändert sich dabei nicht.

Um die thermischen Zustandsgrößen des Gases in den verschiedenen Zuständen zu kennzeichnen, führt man Indizes ein

'1' für den Anfangszustand, also und .

'2' für den Zustand, der sich nach raschem Aufstieg des Ballons ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung einstellt, also und .

'3' für den Zustand, der sich anschließend nach Aufheizung durch die Sonneneinstrahlung einstellt, also und .

Die beiden speziellen Zustandsänderungen, denen das Gas nacheinander unterworfen wird, sind

Teilprozess isentrope Zustandsänderung

Es findet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt. Die zur Expansion erforderliche Volumenänderungsarbeit führt damit wegen des 1 . Hauptsatzes zu einer Abnahme der Inneren Energie des Gases. Es gelten die Isentropengleichung (in jeder ihrer drei Darstellungsformen).

Teilprozess '2' isobare Zustandsänderung

Der Druck bleibt konstant, es gilt also

Für die Berechnung der zur Temperaturerhöhung aufgenommenen Wärme muss die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck berücksichtigt werden.

Für ein ideales Gas liefert die kinetische Theorie die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen bzw. bei konstantem Druck und daraus den Isentropenexponenten , der als Quotient aus durch definiert ist. Für ein vorgegebenes Gas könnten allerdings auch experimentell bestimmte Werte aus Tabellen übernommen werden,

Wesentlich bei der Berechnung der Wärmekapazitäten und des Isentropenexponenten ist allein die Zahl der Freiheitsgrade eines Moleküls. Dabei ist ein Freiheitsgrad definiert als eine unabhängige Möglichkeit des Moleküls, Energie aufzunehmen. Es gibt Freiheitsgrade der Translation, der Rotation und der Oszillation. Bei dem in der Aufgabe vorliegenden Gas Helium liegen die Verhältnisse besonders einfach. Als Edelgas mit einer abgeschlossenen Elektronenhülle bildet Helium keine Moleküle, es existiert als einatomiges Gas, das nur die drei Freiheitsgrade der Translation hat.

Die Ergebnisse der kinetischen Theorie sind

allgemein

spezielle Anwendung auf He mit

(a) -Diagramm

Die beiden aufeinanderfolgenden Zustandsänderungen sind

  • isentrope Entspannung
  • isobare Erwärmung.

Für die Skizze ist zu berücksichtigen, dass die Isentropen stets steiler verlaufen als die Isothermen. In der untenstehenden Skizze sind die späteren Ergebnisse dieser Aufgabe bereits eingearbeitet, d.h. die Abbildung ist bereits maßstäblich richtig gezeichnet.

Skizze:

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(b) Anfangsvolumen

Das Anfangsvolumen kann aus der thermischen Zustandsgleichung für den Zustand ' 1 ' berechnet werden, da die Teilchenmenge und die thermischen Zustandsgrößen Anfangsdruck und Anfangstemperatur bekannt sind.

Die allgemeine Zustandsgleichung eines idealen Gases lautet

mit und ergibt sich

(c) Volumen

Die Zustandsänderung ' ' ist eine isentrope Expansion. Es gelten die Beziehungen für isentrope Zustandsänderungen. Es gibt dafür drei gleichberechtigte Beziehungen, die jeweils zwei thermische Zustandsgrößen miteinander verknüpfen. Unter Benutzung der allgemeinen Gasgleichung sind diese Darstellungen wechselseitig ineinander überführbar. Die drei Darstellungsformen sind

Zweckmäßigerweise wählt man hier die erste Darstellung, die Drücke und Volumina miteinander verknüpft, da der Druck nach der isentropen Expansion bekannt ist. Also

dabei ist der Isentropenexponent

Auflösen nach ergibt

Um zu bestimmen, zieht man auf beiden Seiten der Gleichung die -te Wurzel. Das ändert an der Gleichheit von linker und rechter Seite der Gleichung nichts. Es wird

Zahlenwerte

(d) Temperatur

Zur Berechnung von kann entweder die allgemeine Zustandsgleichung für den Zustand ' 2 ' angewandt werden oder eine der Isentropengleichungen, die die Temperatur enthalten, herangezogen werden.

Will man die Verwendung von Zwischenergebnissen vermeiden (und damit eine mögliche Fehlerfortpflanzung), dann muss man die Isentropengleichung verwenden, die nur die Zustandsgrößen der Zustände ' 1 ' und '2', also die Drücke und und die zugehörigen Temperaturen und , enthält.

Also

Auflösen nach ergibt

Die Regeln der Potenzrechnung liefern

Zahlenwerte

Kontrolle: Anwenden der allgemeinen Zustandsgleichung eines idealen Gases auf die beiden Zustände ' 1 ' und '2' liefert

Daraus

Das Verhältnis der Volumina ist aus dem Zwischenergebnis der Teilaufgabe (c) zu nehmen.
Zahlenwerte

(e) Endvolumen

Das Endvolumen kann auf zwei Wegen - unter Benutzung verschiedener Zwischenergebnisse - bestimmt werden.

(e1) Man benutzt nur das Zwischenergebnis aus Teilaufgabe (c).

Die Zustandsgleichung wird für die Zustände '1' und '3' angeschrieben. Dabei ist zu berücksichtigen, dass für die Isotherme ' ' die Anfangstemperatur und die Endtemperatur identisch sind.

also wird

(e2) Man benutzt die Zwischenergebnisse der Teilaufgaben (c) und (d).

Die Zustandsgleichung wird für die Zustände '2' und '3' angeschrieben. Dabei ist zu berücksichtigen, dass für den isobaren Prozess ' ' der Anfangsdruck und der Enddruck gleich sind und außerdem in der Aufgabenstellung gefordert wird.

Also

 

man erhält nach Division also

oder

(f) Wärme

Die Erwärmung des Gases erfolgt isobar beim Druck ; es ist also .

In die Wärmebilanz geht die isobare molare Wärmekapazität ein. Da die Endtemperatur, auf die erwärmt werden soll, gleich der Anfangstemperatur sein soll, gilt zusätzlich .
Die Temperaturdifferenz , um die erwärmt wird, ergibt sich damit zu

die aufgenommene Wärme wird damit

Lösung:

  1. siehe Musterlösung