Ideales Gas

Ideale Gasgemische

Reale Gase

Fluide und Lösungen

Flüssigkeiten und Lösungen

Phasenübergänge

Festes Wasser (Eis)

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Isotopentrennung durch Gasdiffusion

<ol>
<li>\[<br />\frac{C\left({ }^{235} \mathrm{U}\right)}{C\left({ }^{238} \mathrm{U}\right)}=0,00705,\quad<br />\frac{C\left({ }^{235} \mathrm{U}\right)^{\prime}}{C\left({ }^{238} \mathrm{U}\right)^{\prime}}=0,00700<br />\]</li>
<li>\[n=1158\]</li>
<li>\[<br />t \approx 3390 \mathrm{a}<br />\]</li>
</ol>

<p>1. Änderung des Konzentrationsverhältnisses </p>


<p>Nach der kinetischen Gastheorie ist die Strömungsgeschwindigkeit \( \bar{v} \) indirekt proportional zur Masse der Teilchens \( m \). Die Teilchenkonzentration ist \( C=N / V \).</p>


<p>Nach der kinetischen Gastheorie ist die Strömungsgeschwindigkeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \bar{v} " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.097ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 485 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-11-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(270.3,4) translate(-250 0)"><use data-c="AF" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-AF"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> indirekt proportional zur Masse der Teilchens <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" m " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.986ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 878 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12-TEX-I-1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-12-TEX-I-1D45A"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Die Teilchenkonzentration ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" C=N / V " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.617ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4250.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-13-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path><path id="MJX-13-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-13-TEX-I-1D441" d="M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z"></path><path id="MJX-13-TEX-N-2F" d="M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 75 -250Q68 -250 62 -245T56 -231Q56 -221 230 257T407 740Q411 750 423 750Z"></path><path id="MJX-13-TEX-I-1D449" d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1037.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2093.6,0)"><use data-c="1D441" xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D441"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2981.6,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2F" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3481.6,0)"><use data-c="1D449" xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D449"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>\[<br />\mathrm{d} N=\frac{1}{4} \frac{N}{V} \bar{v} A \mathrm{~d} t <br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \frac{\mathrm{d} N_{1}}{\mathrm{~d} N_{2}}=\frac{N_{1} \overline{\bar{v}}_{1}}{N_{2}} \overline{\bar{v}}_{2}=\frac{N_{1}}{N_{2}} \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}<br />\]</p>


<p>\[<br />\frac{C\left({ }^{235} \mathrm{U}\right)}{C\left({ }^{238} \mathrm{U}\right)}=\frac{0,7 \%}{99,3 \%}=0,00705<br />\]</p>


<p>\[\begin{align}<br />\frac{C\left({ }^{235} \mathrm{U}\right)^{\prime}}{C\left({ }^{238} \mathrm{U}\right)^{\prime}}&amp;=\frac{C\left({ }^{235} \mathrm{U}\right)}{C\left({ }^{238} \mathrm{U}\right)} \sqrt{\frac{M\left({ }^{235} \mathrm{UF}_{6}\right)}{M\left({ }^{238} \mathrm{UF}_{6}\right)}}\\\\&amp;=0,00705 \cdot \frac{349}{352}=0,00700\end{align}<br />\]</p>


<p>\[<br />\frac{C_{1}^{\prime}}{C_{2}^{\prime}}=\frac{C_{1}}{C_{2}} \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}}<br />\]</p>


<p>\[<br />\frac{C_{1}^{\prime \prime}}{C_{2}^{\prime \prime}}=\frac{C_{1}^{\prime}}{C_{2}^{\prime}} \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}\left(\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}}\right)^{2}<br />\]</p>
<p>\[\Leftrightarrow<br />\log \frac{C_{1}}{C_{2}}+\log \left(\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}}\right)^{n}=0 <br />\]</p>


<p>\[<br />\frac{C_{1}^{(n)}}{C_{2}^{(n)}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}\left(\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}}\right)^{(n)} \stackrel{!}{=} \frac{1}{1}<br />\]</p>


<p>\[\begin{align}<br />n&amp;=2 \frac{\log \left(C_{2} / C_{1}\right)}{\log \left(M_{2} / M_{1}\right)}\\\\&amp;=\frac{2 \log (99,3 / 0,7)}{\log (352 / 349)}=1158\end{align}<br />\]</p>


<p>\[\begin{align} \bar{v}&amp;=\sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}}\\\\&amp;=\sqrt{\frac{8.8,3144 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} \cdot 300 \mathrm{~K}}{\pi \cdot 0,028 \mathrm{~kg} / \mathrm{mol}}}=476 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{align} \]</p>


<p>\[<br />-\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{4} \frac{N}{V} A \bar{v}<br />\]</p>


<p>\[\begin{align}<br /> \int_{N_{0}}^{N}-\frac{\mathrm{d} N^{\prime}}{N}&amp;=\int_{0}^{t} \frac{A \bar{v}}{4 V} \mathrm{~d} t^{\prime}\\<br />-\ln \frac{N}{N_{0}}&amp;=\frac{A \bar{v}}{4 V} t\end{align}<br />\]</p>


<p>\[\begin{align}<br />t&amp;=-\frac{4 V}{\bar{v} A} \ln \frac{p}{p_{0}}\\\\&amp;=-\frac{4 \cdot 0,001 \mathrm{~m}^{3}}{476 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \cdot\left(10 \cdot 10^{-9} \mathrm{~m}\right)^{2} \pi / 4} \ln \frac{1}{\mathrm{e}}\\\\&amp;=1,07 \cdot 10^{11} \mathrm{~s} \approx 3390 \mathrm{a}\end{align}<br />\]</p>

<p>Ein Isotopengemisch strömt durch ein kleines Loch aus einem dünnwandigen Gefäß mit der Teilchenstromdichte \( \frac{1}{A} \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{4} \frac{N}{V} \bar{v} \) aus.<br />A Fläche der Öffnung, \( N \) Teilchenzahl, \( t \) Zeit, \( V \) Volumen, \( \bar{v} \) Strömungsgeschwindigkeit.</p>
<ol>
<li>
<p>Wie ändert sich das Konzentrationsverhältnis eines Isotopengemisches aus \( 0,7 \%{ }^{235} \mathrm{UF}_{6} \) und \( 99,3 \%{ }^{238} \mathrm{UF}_{6} \) beim Ausströmen?</p>
</li>
<li>
<p>Nach wie vielen Ausströmvorgängen beträgt das Isotopenverhältnis \( 1: 1 \) ?</p>
</li>
<li>
<p>Nach welcher Zeit ist der Druck im Gefäß auf \( \frac{1}{e} \) des ursprünglichen Wertes abgesunken?<br />Das 1-Liter-Gefäß sei mit Stickstoff (300 K) gefüllt, der Radius der Öffnung sei \( 10 \mathrm{~nm} \) groß.</p>
</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Ideales Gas mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: