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Aufgabenstellung:

In einem idealen Gas ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeitskomponenten der Gasteilchen (Masse ) in -, - und -Richtung bei der Temperatur gegeben durch

  1. Berechnen Sie die wahrscheinlichste Geschwindigkeit und die mittlere Geschwindigkeit der Geschwindigkeitskomponentenverteilungen.

  2. Geben Sie begründet die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Geschwindigkeitsbetrags an. Berechnen Sie die wahrscheinlichste Geschwindigkeit und die mittlere Geschwindigkeit der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

  3. Zeigen Sie, dass .

Hinweis:

Lösungsweg:

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a) Wahrscheinlichste Geschwindigkeit der Geschwindigkeitskomponenten; Mittlere Geschwindigkeit der Geschwindigkeitskomponenten

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, bei der maximal wird:

Die mittlere Geschwindigkeit der Geschwindigkeitskomponenten ist gegeben durch

Auswerten des Integrals in ergibt null, da mit symmetrischen Grenzen über eine punktsymmetrische Funktion integriert wird.

b) Wahrscheinlichkeitsverteilung des Geschwindigkeitsbetrags; Wahrscheinlichste Geschwindigkeit und die mittlere Geschwindigkeit der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gasmolekül den Geschwindigkeitsvektor hat, ist aufgrund der Unabhängigkeit der Geschwindigkeitskomponenten gegeben durch das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gasmolekül den Geschwindigkeitsbetrag hat, ist größer, da zu einem Geschwindigkeitsbetrag mehrere Geschwindigkeitsvektoren gehören. Dies sind alle Geschwindigkeitsvektoren, deren Spitze im "Kugelschalenvolumen" liegen. Daher ist :

Zur Bestimmung der Geschwindigkeit müssen die Nullstellen der Ableitung von bestimmt werden:

Zeichnet man den -Graphen so zeigt dieser folgendes: Für liegt ein Minimum vor und für das gesuchte Maximum.

Die mittlere Geschwindigkeit ist nach Definition:

Durch Substitution wird die Gleichung integriert:

Einsetzen der Substitute ergibt:

c) Zeige, dass gilt

Nach dem Gleichverteilungssatz gilt für

Nach Teilaufgabe b ist

Lösung:

  3. siehe Musterlösung