MIMO-System

Sprungfunktion

Schwingung

Laplace-Transformation

Linearisierung nichtlinearer Systeme

Sensitivität

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

<p>\[<br />K_{R}=1,618 <br />\]</p>
<p>\[<br />T_{n}=T_{g}=2,75 \mathrm{sec} <br />\]</p>
<p>\[<br />G(j \omega)=1,618 \frac{1+2,75 \sec j \omega}{2.75 \sec j \omega} <br />\]</p>

<p>Benötigtes \( T_{u} \) und \( T_{g} \) aus Sprungantwort (Hilfskizze):</p>


<p>Benötigtes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" T_{u} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.424ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1071.5 834.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2124-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-2124-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-2124-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-2124-TEX-I-1D462"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" T_{g} " style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.272ex" height="2.199ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1004.3 972" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2125-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-2125-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-2125-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-2125-TEX-I-1D454"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> aus Sprungantwort (Hilfskizze):</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="K_{S}" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.14ex" height="1.92ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1388.1 848.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2126-TEX-I-1D43E" d="M285 628Q285 635 228 637Q205 637 198 638T191 647Q191 649 193 661Q199 681 203 682Q205 683 214 683H219Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q500 682 500 674Q500 669 497 660Q496 658 496 654T495 648T493 644T490 641T486 639T479 638T470 637T456 637Q416 636 405 634T387 623L306 305Q307 305 490 449T678 597Q692 611 692 620Q692 635 667 637Q651 637 651 648Q651 650 654 662T659 677Q662 682 676 682Q680 682 711 681T791 680Q814 680 839 681T869 682Q889 682 889 672Q889 650 881 642Q878 637 862 637Q787 632 726 586Q710 576 656 534T556 455L509 418L518 396Q527 374 546 329T581 244Q656 67 661 61Q663 59 666 57Q680 47 717 46H738Q744 38 744 37T741 19Q737 6 731 0H720Q680 3 625 3Q503 3 488 0H478Q472 6 472 9T474 27Q478 40 480 43T491 46H494Q544 46 544 71Q544 75 517 141T485 216L427 354L359 301L291 248L268 155Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 37 340 35Q340 19 333 5Q328 0 317 0Q314 0 280 1T180 2Q118 2 85 2T49 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Z"></path><path id="MJX-2126-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43E" xlink:href="#MJX-2126-TEX-I-1D43E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(882,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-2126-TEX-I-1D446"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> aus Bode-Diagramm:</p>


<p>\[<br />\ddot{h}\left(t^{*}\right)=\dot{g}\left(t^{*}\right)=0 \Rightarrow t^{*}=1,15 \mathrm{sec} <br />\]</p>


<p>\[<br />\dot{h}\left(t^{*}\right)=g\left(t^{*}\right)=0,91 \mathrm{sec}^{-1} <br />\]</p>


<p>\[<br />h\left(t^{*}\right)=\int_{0}^{t^{*}} g(t) d t=A_{1} <br />\]</p>


<p>\[\begin{align}<br />\lim _{t \rightarrow \infty} h(t)=K_{S}&amp;=\int_{0}^{\infty} g(t) d t\\&amp;=\int_{0}^{t^{*}} g(t) d t+\int_{t^{*}}^{\infty} g(t) d t=A_{1}+A_{2} <br />\end{align}\]</p>


<p>\[<br />\operatorname{mit} \frac{A_{1}}{A_{2}}=0,37: <br />\]</p>


<p>\[<br />\quad K_{S}=A_{1}+\frac{A_{1}}{0,37}=A_{1} \cdot \frac{1,37}{0,37} <br />\]</p>
<p>\[<br />\quad h\left(t^{*}\right)=A_{1}=\frac{0,37}{1,37} K_{S}=0,675 <br />\]</p>


<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" T_{u} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.424ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1071.5 834.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2135-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-2135-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-2135-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-2135-TEX-I-1D462"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />h\left(t^{*}\right)=\dot{h}\left(t^{*}\right) \cdot\left(t^{*}-T_{U}\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow T_{U}=t^{*}-\frac{h\left(t^{*}\right)}{\dot{h}\left(t^{*}\right)}=1,15 \mathrm{sec}-\frac{0,675}{0,91 \mathrm{sec}^{-1}}=0,408 \mathrm{sec} <br />\]</p>


<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" T_{g} " style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.272ex" height="2.199ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1004.3 972" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2138-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-2138-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-2138-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-2138-TEX-I-1D454"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />\dot{h}\left(t^{*}\right) \cdot T_{g}=K_{S} <br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow T_{g}=\frac{K_{S}}{\dot{h}\left(t^{*}\right)}=2,75 \mathrm{sec} <br />\]</p>


<p>\[<br />T_{n}=T_{g}=2,75 \mathrm{sec} <br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow G(j \omega)=1,618 \frac{1+2,75 \sec j \omega}{2.75 \sec j \omega} <br />\]</p>

<p>Der Amplitudenverlauf des Frequenzgangs einer Regelstrecke \( G_{S}(j \omega) \) ist im BodeDiagramm gegeben:</p>
<p><img style="width: 55%; height: auto; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61bf699deb28c6349be755d2.jpeg" alt="Abbildung" width="544" height="376" /></p>
<p>Zudem wurde ein Messschrieb ihrer Impulsantwort \( g(t) \) aufgezeichnet. Das Flächenverhältnis \( \frac{A_{1}}{A_{2}} \) wurde bestimmt zu \( \frac{A_{1}}{A_{2}}=0,37 \).</p>
<p><img style="width: 72%; height: auto; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61bf69c1eb28c6349be755e7.jpeg" alt="Abbildung" width="898" height="366" /></p>
<p>Für die Regelstrecke soll ein PI-Regler \( G_{R}(j \omega) \) nach den Einstellregeln von Chien, Hrones und Reswick für gutes Führungsverhalten mit \( 20 \% \) Überschwingen eingestellt werden.</p>
<p>Bestimmen Sie die Einstellwerte \( K_{R} \) und \( T_{n} \) des Reglers und geben Sie den Frequenzgang \( G_{R}(j \omega) \) des Reglers in der folgenden Form an.</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />G(j \omega)=K \frac{b_{0}+b_{1} j \omega+\ldots+b_{m}(j \omega)^{m}}{a_{0}+a_{1} j \omega+\ldots+a_{n}(j \omega)^{n}} e^{-T_{t} j \omega}<br />\]</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Sprungfunktion mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: