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Aufgabenstellung:

Gegeben sind die folgenden beiden Matrizen

wobei die Systemmatrix und die Ausgangsmatrix eines Zustandssystems darstellt.

  1. Ist das Zustandssystem für beobachtbar?

  2. Bestimmen Sie eine Matrix so, dass der Beobachter den dreifachen Eigenwert besitzt

Lösungsweg:

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a) Beobachtbarkeit

Es gilt die Beobachtbarkeit des gegebenen Systems zu zeigen, daher wird zunächst die Beobachtbarkeitsmatrix nach Kalman berechnet.

Besitzt den Rang , ist das System vollständig beobachtbar.

Unter Verwendung der Aufgabenstellung ergibt sich

Es zeigt sich, dass die Beobachtbarkeitsmatrix bereits mit den ersten vier Zeilen vollen Rang besitzt, und somit sich die Berechnung der letzten beiden Zeilen erübrigt. Das Zustandssystem ist daher vollständig beobachtbar.

b) Matrix

Es lässt sich ein Beobachter für ein vollständig beobachtbares System analog zum Reglerentwurf mit Eigenwertzuweisung mit Hilfe der Ackermann-Formel entwerfen. Hierzu muss nur das Matrizenpaar durch das Paar ersetzt werden. Anschließend erfolg der Beobachterentwurf analog zum Reglerentwurf.

Hierzu werden zunächst die Transponierten gebildet

Es handelt sich offensichtlich also um ein MIMO-Problem, daher wird zunächst die Steuerbarkeit der einzelnen Paare und untersucht.

Mit und ergibt sich

Es zeigt sich ziemlich deutlich, dass das System für beide Paare nicht steuerbar ist. Daher muss eine Matrix bestimmt werden, sodass eines der beiden Paare oder steuerbar ist, um mit Hilfe der Ackermann-Formel den Regler zu bestimmen. Ist dies erfolgreich, so ist die Matrix der gesuchte Beobachter.

Es wird folgende Wahl für getroffen und des Weiteren die Matrix berechnet.

Nun gilt es noch zu prüfen, ob die Steuerbarkeit für eines der beiden genannten Paare gegeben ist. Bei Betrachtung des Paares zeigt sich

dass die Steuerbarkeit für das Paar erfüllt ist. Daher wird im folgenden mit dem Vektor gearbeitet.

Für das System soll nun ein Beobachter entworfen werden, der den dreifachen Eigenwert besitzt. Dies kann, wie bereits erwähnt, analog zum Reglerentwurf mit Eigenwertzuweisen mit Hilfe der Ackermann-Formel

durchgeführt werden.

Hierzu wird zunächst das Gleichungssystem

gelöst. Das führt zu , womit sich die gesuchte Beobachtermatrix zu

ergibt.

Es gilt also noch zu bestimmen

Somit ist alles bestimmt und ergibt sich zu

Damit lässt sich nun die transponierte Beobachtermatrix  bestimmen. 

Somit ergibt sich die gesuchte Beobachtermatrix zu

Lösung:

  1. vollständig beobachtbar