Gegeben ist folgende Matrix
Zeigen Sie mit Hilfe der Lyapunov-Gleichung, dass das Zustandssystem
Durch das finden einer positiv definiten symmetrischen Matrix
erfüllt, ist die asymptotische Stabilität für das Zustandssystem
Gesucht ist daher die symmetrische Matrix
Es ist also das folgende lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten
Bringe zunächst die oben dargestellte Gleichung in die Form
Dazu wird das Gleichungssystem zunächst explizit aufgestellt:
Es zeigt sich, dass die Zeilen (2) und (4), (3) und (7) sowie (6) und (8) linear abhängig bzw. identisch sind und somit für die Lösung des Gleichungssystems jeweils nur eine der beiden Zeilen erforderlich ist.
Daraus ergibt sich dann das folgende Gleichungssystem:
Zur Lösung wird das Gleichungssystem im folgenden in Zeilenstufenform überführt.
Dazu werden zunächst die Spalten (3) und (6) vertauscht:
Mit Hilfe des Gauß-Algorithmus wird das Gleichungssystem dann in Zeilenstufenform überführt, welche die folgende Form besitzt:
Das Gleichungssystem lässt sich in dieser Form dann von unten nach oben sukzessive auflösen:
Die gesuchte Matrix
Das Zustandssystem
Die erste Hauptminore der betrachteten Matrix
Die zweite Hauptminore ergibt sich aus der oberen linken (2x2)-Matrix:
Die dritte und letzte Hauptminore ist die Matrix selbst. Es gilt also die Determinante von
Es sind also alle Hauptminoren positiv und die Matrix
Asymptotisch stabil.