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Aufgabenstellung:

Gegeben ist folgende Matrix

Zeigen Sie mit Hilfe der Lyapunov-Gleichung, dass das Zustandssystem asymptotisch stabil ist.

Lösungsweg:

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Durch das finden einer positiv definiten symmetrischen Matrix , die die Gleichung

erfüllt, ist die asymptotische Stabilität für das Zustandssystem nachweisbar.

Gesucht ist daher die symmetrische Matrix , die die in der Aufgabe angegebene Lyapunov-Gleichung erfüllt.

Es ist also das folgende lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten zu lösen

Bringe zunächst die oben dargestellte Gleichung in die Form .

Dazu wird das Gleichungssystem zunächst explizit aufgestellt:

Es zeigt sich, dass die Zeilen (2) und (4), (3) und (7) sowie (6) und (8) linear abhängig bzw. identisch sind und somit für die Lösung des Gleichungssystems jeweils nur eine der beiden Zeilen erforderlich ist.

Daraus ergibt sich dann das folgende Gleichungssystem:

Zur Lösung wird das Gleichungssystem im folgenden in Zeilenstufenform überführt.
Dazu werden zunächst die Spalten (3) und (6) vertauscht:

Mit Hilfe des Gauß-Algorithmus wird das Gleichungssystem dann in Zeilenstufenform überführt, welche die folgende Form besitzt:

Das Gleichungssystem lässt sich in dieser Form dann von unten nach oben sukzessive auflösen:

Die gesuchte Matrix ergibt sich also zu:

Das Zustandssystem ist asymptotisch stabil, wenn die Matrix positiv definit ist. Die erhaltene Matrix muss also auf positive Definitheit geprüft werden. 

Die erste Hauptminore der betrachteten Matrix lässt sich einfach ablesen:

Die zweite Hauptminore ergibt sich aus der oberen linken (2x2)-Matrix:

Die dritte und letzte Hauptminore ist die Matrix selbst. Es gilt also die Determinante von zu berechnen:

Es sind also alle Hauptminoren positiv und die Matrix damit positiv definit. Das betrachtete Zustandssystem ist somit asymptotisch stabil.

Lösung:

Asymptotisch stabil.