Chien, Hrones, Reswick

Zustandsregler

Ziegler-Nichols

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[<br />w(t)=0,1 \mathrm{sec}^{-1} \cdot t-0,2 <br />\]</li>
<li>\(<br />T_{u}=2 \mathrm{sec} <br />\), \(
<p> T_{g} =10 \mathrm{sec} <br />\), \(<br />K_{R}=1,75<br />\), \(<br />T_{u}=12 \mathrm{sec} <br />\)</p>
</li>
</ol>

<p>a) Wendetangente <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" w(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.197ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1855 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1839-TEX-I-1D464" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path><path id="MJX-1839-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1839-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-1839-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D464" xlink:href="#MJX-1839-TEX-I-1D464"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(716,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1839-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1105,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-1839-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1466,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1839-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\ddot{h}\left(t^{*}\right)=\dot{g}\left(t^{*}\right) \stackrel{!}{=} 0 <br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned} t^{*} &amp;=5 \mathrm{sec} \\ g\left(t^{*}\right) &amp;=0,1 \mathrm{sec}^{-1} \\ h\left(t^{*}\right) &amp;=0,3 \end{aligned} <br />\]</p>


<p>\[<br />\ \, w(t)=g\left(t^{*}\right) \cdot t+a_{0} <br />\]</p>
<p>\[<br />h\left(t^{*}\right)=g\left(t^{*}\right) \cdot t^{*}+a_{0} <br />\]</p>


<p>\[<br />a_{0}=h\left(t^{*}\right)-g\left(t^{*}\right) \cdot t^{*} <br />\]</p>
<p>\[<br />a_{0}=0,3-0,1 \mathrm{sec}^{-1} \cdot 5 \mathrm{sec} <br />\]</p>
<p>\[<br />a_{0}=-0,2 <br />\]</p>


<p>\[<br />w(t)=0,1 \mathrm{sec}^{-1} \cdot t-0,2 <br />\]</p>


<p>b) Verzugszeit \( T_{u} \), Ausgleichszeit \( T_{g} \), \( K_{R} \) und \( T_{n} \)</p>


<p>b) Verzugszeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" T_{u} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.424ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1071.5 834.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1848-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-1848-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-1848-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-1848-TEX-I-1D462"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>, Ausgleichszeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" T_{g} " style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.272ex" height="2.199ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1004.3 972" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1849-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-1849-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-1849-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-1849-TEX-I-1D454"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" K_{R} " style="vertical-align: -0.373ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.323ex" height="1.918ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1468.7 847.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1850-TEX-I-1D43E" d="M285 628Q285 635 228 637Q205 637 198 638T191 647Q191 649 193 661Q199 681 203 682Q205 683 214 683H219Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q500 682 500 674Q500 669 497 660Q496 658 496 654T495 648T493 644T490 641T486 639T479 638T470 637T456 637Q416 636 405 634T387 623L306 305Q307 305 490 449T678 597Q692 611 692 620Q692 635 667 637Q651 637 651 648Q651 650 654 662T659 677Q662 682 676 682Q680 682 711 681T791 680Q814 680 839 681T869 682Q889 682 889 672Q889 650 881 642Q878 637 862 637Q787 632 726 586Q710 576 656 534T556 455L509 418L518 396Q527 374 546 329T581 244Q656 67 661 61Q663 59 666 57Q680 47 717 46H738Q744 38 744 37T741 19Q737 6 731 0H720Q680 3 625 3Q503 3 488 0H478Q472 6 472 9T474 27Q478 40 480 43T491 46H494Q544 46 544 71Q544 75 517 141T485 216L427 354L359 301L291 248L268 155Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 37 340 35Q340 19 333 5Q328 0 317 0Q314 0 280 1T180 2Q118 2 85 2T49 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Z"></path><path id="MJX-1850-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43E" xlink:href="#MJX-1850-TEX-I-1D43E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(882,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D445" xlink:href="#MJX-1850-TEX-I-1D445"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" T_{n} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.469ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1091.3 834.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1851-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-1851-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-1851-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1851-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />w\left(T_{u}\right)=0 <br />\]</p>
<p>\[<br />T_{u}=2 \mathrm{sec} <br />\]</p>


<p>\[<br />w\left(T_{u}+T_{g}\right)=1 <br />\]</p>
<p>\[<br />w\left(T_{u}+T_{g}\right)=0,1 \mathrm{sec}^{-1} \cdot\left(T_{u}+T_{g}\right)-0,2 <br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned} T_{g} &amp;=\frac{w\left(T_{u}+T_{g}\right)+0,2}{0,1 \mathrm{sec}^{-1}}-T_{u} \\ T_{g} &amp;=\frac{1+0,2}{0,1 \mathrm{sec}^{-1}}-2 \mathrm{sec} \\ T_{g} &amp;=10 \mathrm{sec} \end{aligned} <br />\]</p>


<p>Reglerkennwerte. aperiodisch, gutes Führungsverhalten:</p>


<p>\[<br />T_{u}=1,2 T_{g} <br />\]</p>
<p>\[<br />T_{u}=1,2 \cdot 10 \mathrm{sec}=12 \mathrm{sec} <br />\]</p>

<p>Für eine Regelstrecke wurden die Übergangsfunktion \( h(t) \) und die Gewichtsfunktion \( g(t) \) experimentell bestimmt:</p>
<p><img style="width: 91%; height: auto; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61bf90f3eb28c6349be79ccc.jpeg" alt="Abbildung" width="1107" height="484" /></p>
<p>Für die Regelstrecke soll ein \( P I \)-Regler nach den Einstellregeln von Chien, Hrones und Reswick ausgelegt werden. Der Regler soll für gutes Führungsverhalten ohne Überschwingen eingestellt werden.</p>
<p><img style="width: 56%; height: auto; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61bf9128eb28c6349be79ce7.jpeg" alt="Abbildung" width="726" height="590" /></p>
<p style="padding-left: 40px;">a) Bestimmen Sie ohne deren Konstruktion die Wendetangente \( w(t) \) der Übergangsfunktion in der Form</p>
<p style="padding-left: 80px;">\[<br />w(t)=a_{1} \cdot t+a_{0}<br />\]</p>
<p style="padding-left: 40px;">b) Berechnen Sie die Ersatzgrößen Verzugszeit \( T_{u} \) und Ausgleichszeit \( T_{g} \) für die Regelstrecke und bestimmen Sie die Kennwerte \( K_{R} \) und \( T_{n} \) des Reglers.</p>
<p><strong>Hinweis:</strong> Sollten Sie a) nicht gelöst haben, rechnen Sie mit \( w(t)=0,5 \mathrm{sec}^{-1} \cdot t-0,2 . \)</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Chien, Hrones, Reswick mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: