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Aufgabenstellung:

Beim ideal gerührten Behälter mit Zu- und Ablauf wurde der Einfachheit halber angenommenm, dass Eintritts-, Anfangs- und Umgebungstemperatur identisch sind, . Betrachten Sie nun den Fall, dass die Eintrittstemperatur oberhalb der Umgebungstemperatur liegt, .

 

Leiten Sie aus der Energiebilanz die zugehörige (entdimensionierte) Differenzialgleichung ab.

Diskutieren Sie die Lösung, betrachten Sie dabei insbesondere den Fall:

Lösungsweg:

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Die Energiebilanz am ideal gerührten Behälter mit Zu- und Ablauf

Da der Behälter ideal gerührt ist, konnte hierbei die Austrittstemperatur gleich der Temperatur im Behälter gesetzt werden.

Entdimensionieren:

Mit diesen Variablen und der Erweiterung folgt:

Für eine möglichst einfache Differenzialgleichung werden folgende Verienfachungen vorgenommen

Somit folgt für die Differenzialgleichung

Mit der Anfangsbedingung folgt die Lösung:

In dimensionsloser Schreibweise ist die Lösung also dieselbe wie beim einfacheren Fall mit . Allerdings wurde die Bezugstemperatur dieses Mal anders gewählt, sodass sich die Temperatur für lange Zeiten einem anderen Wert nähert:

Man sieht, dass sich die Temperaturdifferenz auf die Langzeitlösung auswirkt. Das in der Vorlesung hergeleitete Ergebnis ergibt sich unmittelbar durch Gleichsetzen von und . Im Fall ergibt sich

Je kleiner ist, d.h. je weniger Wärme vom Behälter an die Umgebung abgegeben wird, umso mehr nähert sich die Behältertemperatur der Einlasstemperatur, was auch nicht anders zu erwarten ist.

Lösung: