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Aufgabenstellung:

Sind die Zufallsgrößen und unkorreliert bzw. unabhängig, wenn gilt

  1.  

  2. ,  wobei (Gleichverteilung auf )

  3. ü

    (Gleichverteilung auf dem Einheitskreis)?

Lösungsweg:

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Dichte von und skizzieren

wegen

(da symmetrisch verteilt ist)

und sind unkorreliert.

Aber: und sind (funktional) abhängig.

Es gilt z. Bsp.

b)

(gleichmäßige Verteilung auf

Verlauf von und in skizzieren

ü

und sind unkorreliert.

Aber: und sind funktional abhängig, denn , bzw.

c)

Skizze

Abbildung

da eine gerade Funktion ist.

Völlig analog folgt

und sind unkorreliert.

Aber: und sind nicht unabhängig, denn für gilt:

Bemerkung:

Bei einer Gleichverteilung auf dem Einheitsquadrat würde neben der Unkorreliertheit auch die Unabhängigkeit folgen:

Lösung:

siehe Lösungsweg