Rikuti

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

<p>Geg.: \( \xi_{1}, \xi_{2} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^{2}\right), \quad \xi_{1}, \xi_{2} \) unabhängig</p>


<p>Geg.: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \xi_{1}, \xi_{2} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^{2}\right), \quad \xi_{1}, \xi_{2} " style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.293ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 11179.7 1199" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-104-TEX-I-1D709" d="M268 632Q268 704 296 704Q314 704 314 687Q314 682 311 664T308 635T309 620V616H315Q342 619 360 619Q443 619 443 586Q439 548 358 546H344Q326 546 317 549T290 566Q257 550 226 505T195 405Q195 381 201 364T211 342T218 337Q266 347 298 347Q375 347 375 314Q374 297 359 288T327 277T280 275Q234 275 208 283L195 286Q149 260 119 214T88 130Q88 116 90 108Q101 79 129 63T229 20Q238 17 243 15Q337 -21 354 -33Q383 -53 383 -94Q383 -137 351 -171T273 -205Q240 -205 202 -190T158 -167Q156 -163 156 -159Q156 -151 161 -146T176 -140Q182 -140 189 -143Q232 -168 274 -168Q286 -168 292 -165Q313 -151 313 -129Q313 -112 301 -104T232 -75Q214 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<p>Ges.: Verteilung von \( \eta=\sqrt{\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}} \)</p>


<p>Ges.: Verteilung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \eta=\sqrt{\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}} " style="vertical-align: -1.287ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.172ex" height="4.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1291.1 5822.1 1860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-105-TEX-I-1D702" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q156 442 175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336V326Q503 302 439 53Q381 -182 377 -189Q364 -216 332 -216Q319 -216 310 -208T299 -186Q299 -177 358 57L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-105-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-105-TEX-LO-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path><path id="MJX-105-TEX-I-1D709" d="M268 632Q268 704 296 704Q314 704 314 687Q314 682 311 664T308 635T309 620V616H315Q342 619 360 619Q443 619 443 586Q439 548 358 546H344Q326 546 317 549T290 566Q257 550 226 505T195 405Q195 381 201 364T211 342T218 337Q266 347 298 347Q375 347 375 314Q374 297 359 288T327 277T280 275Q234 275 208 283L195 286Q149 260 119 214T88 130Q88 116 90 108Q101 79 129 63T229 20Q238 17 243 15Q337 -21 354 -33Q383 -53 383 -94Q383 -137 351 -171T273 -205Q240 -205 202 -190T158 -167Q156 -163 156 -159Q156 -151 161 -146T176 -140Q182 -140 189 -143Q232 -168 274 -168Q286 -168 292 -165Q313 -151 313 -129Q313 -112 301 -104T232 -75Q214 -68 204 -64Q198 -62 171 -52T136 -38T107 -24T78 -8T56 12T36 37T26 66T21 103Q21 149 55 206T145 301L154 307L148 313Q141 319 136 323T124 338T111 358T103 382T99 413Q99 471 143 524T259 602L271 607Q268 618 268 632Z"></path><path id="MJX-105-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-105-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-105-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D702" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D702"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(774.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(1830.6,0)"><g transform="translate(1020,0)"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D709" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D709"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(471,353.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(471,-297.3) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1096.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(2097,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D709" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D709"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(471,353.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(471,-297.3) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,81.1)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-105-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="2971.6" height="60" x="1020" y="1171.1"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Die Werte von \( \eta \) liegen also in \( [0, \infty) \).</p>


<p>Die Werte von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \eta " style="vertical-align: -0.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.124ex" height="1.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 497 658" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-106-TEX-I-1D702" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q156 442 175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336V326Q503 302 439 53Q381 -182 377 -189Q364 -216 332 -216Q319 -216 310 -208T299 -186Q299 -177 358 57L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D702" xlink:href="#MJX-106-TEX-I-1D702"></use></g></g></g></svg></mjx-container> liegen also in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" [0, \infty) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.909ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2611.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-107-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-107-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-107-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-107-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-107-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="5B" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-5B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(278,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(778,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1222.7,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2222.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>\(<br />\tilde{\xi}_{1}, \ldots, \tilde{\xi}_{n} \sim \mathcal{N}(0,1) \), unabhängig, </p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="
\tilde{\xi}_{1}, \ldots, \tilde{\xi}_{n} \sim \mathcal{N}(0,1) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.419ex" height="2.855ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1012 8583 1262" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-108-TEX-I-1D709" d="M268 632Q268 704 296 704Q314 704 314 687Q314 682 311 664T308 635T309 620V616H315Q342 619 360 619Q443 619 443 586Q439 548 358 546H344Q326 546 317 549T290 566Q257 550 226 505T195 405Q195 381 201 364T211 342T218 337Q266 347 298 347Q375 347 375 314Q374 297 359 288T327 277T280 275Q234 275 208 283L195 286Q149 260 119 214T88 130Q88 116 90 108Q101 79 129 63T229 20Q238 17 243 15Q337 -21 354 -33Q383 -53 383 -94Q383 -137 351 -171T273 -205Q240 -205 202 -190T158 -167Q156 -163 156 -159Q156 -151 161 -146T176 -140Q182 -140 189 -143Q232 -168 274 -168Q286 -168 292 -165Q313 -151 313 -129Q313 -112 301 -104T232 -75Q214 -68 204 -64Q198 -62 171 -52T136 -38T107 -24T78 -8T56 12T36 37T26 66T21 103Q21 149 55 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transform="translate(330,594) translate(-250 0)"><use data-c="7E" xlink:href="#MJX-108-TEX-N-7E"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(471,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-108-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4325.6,0)"><use data-c="223C" xlink:href="#MJX-108-TEX-N-223C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(5381.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4E" xlink:href="#MJX-108-TEX-C-4E"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6360.4,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-108-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6749.4,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-108-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7249.4,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-108-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7694,0)"><use data-c="31" 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<p>\( \chi_{n}^{2}=\tilde{\xi_{1}^{2}}+\cdots+\tilde{\xi_{n}^{2}} <br />\]</p>


<p>Hier speziell für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n=2 " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-110-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-110-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-110-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-110-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-110-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-110-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>,</p>


<p>Verallgemeinerung auf \( \xi_{1}, \xi_{2} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^{2}\right) \).</p>


<p>Verallgemeinerung auf <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \xi_{1}, \xi_{2} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^{2}\right) " style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.062ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 7541.2 1199" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-111-TEX-I-1D709" d="M268 632Q268 704 296 704Q314 704 314 687Q314 682 311 664T308 635T309 620V616H315Q342 619 360 619Q443 619 443 586Q439 548 358 546H344Q326 546 317 549T290 566Q257 550 226 505T195 405Q195 381 201 364T211 342T218 337Q266 347 298 347Q375 347 375 314Q374 297 359 288T327 277T280 275Q234 275 208 283L195 286Q149 260 119 214T88 130Q88 116 90 108Q101 79 129 63T229 20Q238 17 243 15Q337 -21 354 -33Q383 -53 383 -94Q383 -137 351 -171T273 -205Q240 -205 202 -190T158 -167Q156 -163 156 -159Q156 -151 161 -146T176 -140Q182 -140 189 -143Q232 -168 274 -168Q286 -168 292 -165Q313 -151 313 -129Q313 -112 301 -104T232 -75Q214 -68 204 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<p>Es gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (y > 0) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.017ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3101.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-112-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-112-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-112-TEX-N-3E" d="M84 520Q84 528 88 533T96 539L99 540Q106 540 253 471T544 334L687 265Q694 260 694 250T687 235Q685 233 395 96L107 -40H101Q83 -38 83 -20Q83 -19 83 -17Q82 -10 98 -1Q117 9 248 71Q326 108 378 132L626 250L378 368Q90 504 86 509Q84 513 84 520Z"></path><path id="MJX-112-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-112-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-112-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-112-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1156.8,0)"><use data-c="3E" xlink:href="#MJX-112-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2212.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-112-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2712.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-112-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />f_{\chi_{n}^{2}}(y)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} y^{\frac{n}{2}-1} \mathrm{e}^{-\left(\frac{y}{2}\right)}<br />\]</p>


<p>\[<br />f \sqrt{\chi_{n}^{2}}(y)=\frac{2}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} y^{n-1} \mathrm{e}^{-\left(\frac{y^{2}}{2}\right)}<br />\]</p>


<p>Speziell für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n=2 " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-115-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-115-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-115-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-115-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-115-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-115-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />f_{\chi_{2}^{2}}(y)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\left(\frac{y}{2}\right)}<br />\]</p>


<p>\[<br />f \sqrt{\chi_{2}^{2}}(y)=y \mathrm{e}^{-\left(\frac{y^{2}}{2}\right)}<br />\]</p>


<p>\[ \chi_{2}^{2}=\tilde{\xi}_{1}^{2}+\tilde{\xi}_{2}^{2}, \quad \tilde{\xi}_{1}, \tilde{\xi}_{2} \sim \mathcal{N}(0,1) \]</p>


<p>\[ \xi_{i} \doteq \sigma \tilde{\xi}_{i} \quad \Rightarrow \quad \xi_{i} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^{2}\right) \]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \quad \eta=\sqrt{\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}}=\sigma \sqrt{\tilde{\xi}_{1}^{2}+\tilde{\xi}_{2}^{2}}=\sigma \sqrt{\chi_{2}^{2}}<br />\]</p>


<p>Betrachten also die Transformation \( \eta=\varphi\left(\sqrt{\chi_{2}^{2}}\right)=\sigma \sqrt{\chi_{2}^{2}} \).</p>


<p>Betrachten also die Transformation <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \eta=\varphi\left(\sqrt{\chi_{2}^{2}}\right)=\sigma \sqrt{\chi_{2}^{2}} " style="vertical-align: -2.148ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.061ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 10192.9 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-121-TEX-I-1D702" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q156 442 175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336V326Q503 302 439 53Q381 -182 377 -189Q364 -216 332 -216Q319 -216 310 -208T299 -186Q299 -177 358 57L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-121-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-121-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path><path id="MJX-121-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-121-TEX-LO-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path><path id="MJX-121-TEX-I-1D712" d="M576 -125Q576 -147 547 -175T487 -204H476Q394 -204 363 -157Q334 -114 293 26L284 59Q283 58 248 19T170 -66T92 -151T53 -191Q49 -194 43 -194Q36 -194 31 -189T25 -177T38 -154T151 -30L272 102L265 131Q189 405 135 405Q104 405 87 358Q86 351 68 351Q48 351 48 361Q48 369 56 386T89 423T148 442Q224 442 258 400Q276 375 297 320T330 222L341 180Q344 180 455 303T573 429Q579 431 582 431Q600 431 600 414Q600 407 587 392T477 270Q356 138 353 134L362 102Q392 -10 428 -89T490 -168Q504 -168 517 -156T536 -126Q539 -116 543 -115T557 -114T571 -115Q576 -118 576 -125Z"></path><path id="MJX-121-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-121-TEX-S3-29" d="M34 1438Q34 1446 37 1448T50 1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path><path id="MJX-121-TEX-I-1D70E" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D702" xlink:href="#MJX-121-TEX-I-1D702"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(774.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-121-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1830.6,0)"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-121-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2651.2,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-121-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(736,0)"><g transform="translate(1020,0)"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D712" xlink:href="#MJX-121-TEX-I-1D712"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(659,353.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-121-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(659,-297.3) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-121-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,81.1)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-121-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="1062.6" height="60" x="1020" y="1171.1"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2818.6,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-121-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6483.6,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-121-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7539.3,0)"><use data-c="1D70E" xlink:href="#MJX-121-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(8110.3,0)"><g transform="translate(1020,0)"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D712" xlink:href="#MJX-121-TEX-I-1D712"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(659,353.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-121-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(659,-297.3) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-121-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,81.1)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-121-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="1062.6" height="60" x="1020" y="1171.1"></rect></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>\[<br />\varphi(x)=\sigma x, \quad h(y)=\varphi^{-1}(y)=\frac{y}{\sigma}, \quad h^{\prime}(y)=\frac{1}{\sigma}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />f_{\eta}(y) &amp;=f \sqrt{\chi_{2}^{2}}(h(y)) \cdot\left|h^{\prime}(y)\right| \\<br />&amp;=f \sqrt{\chi_{2}^{2}}\left(\frac{y}{\sigma}\right) \cdot \frac{1}{\sigma} \\<br />&amp;=\frac{y}{\sigma^{2}} e^{-\left(\frac{y^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) \quad} \quad y &gt; 0 \quad \text { (Rayleigh-Verteilung) }<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;\mathbf{E} \eta=\int_{0}^{\infty} y f_{\eta}(y) d y\\<br />&amp;=\int_{0}^{\infty} y \frac{y}{\sigma^{2}} \mathrm{e}^{-\left(\frac{y^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)} d y\\<br />&amp;=\int_{0}^{\infty} 2 z \mathrm{e}^{-z} \frac{\sigma}{\sqrt{2 z}} d z\\<br />&amp;=\sqrt{2} \sigma \int_{0}^{\infty} z \frac{3}{2}-1 \mathrm{e}^{-z} d z\\<br />&amp;=\sqrt{2} \sigma \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\\<br />&amp;=\sqrt{2} \sigma \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\<br />&amp;=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \sigma<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;\text { mit } z=\frac{y^{2}}{2 \sigma^{2}} \Rightarrow d z=\frac{y}{\sigma^{2}} d y \\<br />&amp;y=\sigma \sqrt{2 z} \Rightarrow d y=\frac{\sigma}{\sqrt{2 z}} d z<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>Die Koordinaten eines Punktes in der Ebene seien unabhängige \( N\left(0, \sigma^{2}\right) \)-verteilte Zufallsgrößen \( (\sigma &gt; 0) \). Man bestimme die Verteilungsdichte und den Erwartungswert vom Abstand des Punktes zum Koordinatenursprung.</p>

<p>Die Koordinaten eines Punktes in der Ebene seien unabhängige <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" N\left(0, \sigma^{2}\right) " style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.875ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 3922.9 1199" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-102-TEX-I-1D441" d="M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z"></path><path 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Man bestimme die Verteilungsdichte und den Erwartungswert vom Abstand des Punktes zum Koordinatenursprung.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Rikuti mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: