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Aufgabenstellung:

Ein Unternehmen produziert zwei Produkte und . Die dazu gehörigen Preis-Absatz-Funktionen lauten:

Im Rahmen der Produktionsplanung wurde folgende Kostenfunktion festgestellt, welche von den Produktionsmengen (in Tausend ) beider Produkte abhängt:

In diesem Zusammenhang sind folgende Fragestellungen zu beantworten:

  1. Wie viele müssen von jedem Produkt zu welchem Preis hergestellt und abgesetzt werden, um den Gewinn zu maximieren? Wie hoch ist dieser Gewinn?

  2. Welche Auswirkungen hat es auf den Gewinn und die gewinnmaximalen Mengen, wenn die Fixkosten der Produktion entfallen?

Lösungsweg:

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a) Gewinnmaximaler Preis, Absatzmenge und Gewinn.

Aufstellen der Umsatz-Funktionen beider Produkte:

Aufstellen des Gesamtgewinns:

Gleichungssystem aus notwendigen Bedingungen:

Gleichung ergibt:

Einsetzen in Gleichung liefert:

Es ergibt sich daraus der kritische Punkt . Es werden also rund von Produkt und rund von Produkt hergestellt.

Hinreichende Bedingungen:

Maximum bei

Als gewinnmaximale Preise der Produkte ergeben sich:

Produkt :

Produkt :

Als Gesamtgewinn resultiert:

b) Auswirkungen auf den Gewinn und die gewinnmaximalen Mengen, wenn die Fixkosten der Produktion entfallen

Fallen die Fixkosten von weg, steigt der Gewinn um diesen Betrag. Die gewinnmaximale Menge bleibt unverändert, da die Fixkosten als additive Konstante bei der Extremwertbestimmung wegfallen und so keinen Einfluss auf die Berechnung haben.

Lösung:

  2. siehe Musterlösung