Folgen, Reihen und Potenzreihen

Komplexe Nullstellen

Hauptargument Winkel 

In diesem Kapitel lernst du die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen. Darüber hinaus werden komplexen Zahlen in Realteil und Imaginärteil getrennt und grafisch dargestellt.

Grundrechenarten

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl

Die Polardarstellung definiert eine komplexe Zahl über einen Betrag und Winkel. In vielen Situationen ist es hilfreich, eine komplexe Zahl in ihre Polardarstellung zu bringen, um z. B. einfacher Potenzen zu berechnen.

Kartesische- und Polarkoordinaten (Euler)

Wertetabelle Sinus, Cosinus, Tangens

Umrechnen zwischen Kartesischen- und Polarkoordinaten

Potenzieren

Potenzieren einer komplexen Zahl

Wurzelziehen (Formel von Moivre)

Wurzelziehen komplexer Zahlen (Formel von Moivre)

Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit $i$ als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können. 

Komplexe Gleichungen

Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-19-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können. 

Komplexe Gleichungen lösen

Komplexe Mengen bestehen i. d. R. aus komplexen Ungleichungen und Bedingungen, welche sich auch grafischen interpretieren lassen. Zur Verdeutlichung hilft es die Bedingungen zu vereinfachen und auf bekannte geometrische Formen zurückzuführen.

Komplexe Menge

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\begin{align*}</p><p>z=\sqrt{5} \cdot e^{i \cdot \arctan(-2)} \approx \sqrt{5} \cdot e^{i \cdot 2,03}</p><p>\end{align*}</p>

<p>Eliminiere alle $i$ aus den Nennern:</p>


<p>Eliminiere alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3823-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3823-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> aus den Nennern:</p>


<p>Erweitere alle 3 Brüche mit dem komplex konjugierten Nenner des jeweiligen Bruches:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; \left(\frac{1-2 i}{2-i} \cdot \frac{2+i}{2+i}-\frac{3+2 i}{1+2 i} \cdot \frac{1-2 i}{1-2 i}\right) \cdot \bar{z} &amp;=\frac{i-1}{i} \cdot \frac{-i}{-i}\\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; \frac{(1-2 i)(2+i)-(3+2 i)(1-2 i)}{4+1} \cdot \bar{z} &amp;=\frac{(i-1) i}{i^{2}} \\</p>
<p>&amp;&amp; &amp;=i+1</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Bestimme <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.052ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 465 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3825-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3825-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>Forme zunächst nach der konjugierten Zahl $\bar{z}$ um:</p>


<p>Forme zunächst nach der konjugierten Zahl <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\bar{z}" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.257ex" height="1.491ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -648 555.6 659" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3826-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-3826-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" transform="translate(17.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-3826-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(55.6, -42)"><use xlink:href="#MJX-3826-TEX-N-AF"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> um:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; \frac{-3+i}{5} \cdot \bar{z}&amp;=i+1 \\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; \quad \bar{z}&amp;=\frac{5(1+i)}{-3+i} \cdot \frac{(-3-i)}{(-3-i)} \\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; \bar{z}&amp;=\frac{5}{9+1} \cdot(-3-i-3 i+1) \\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; \bar{z} &amp;=\frac{1}{2}(-2-4 i) \\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; \bar{z} &amp;=-1-2 i</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Bilde den 2-fach komplex konjugierten Ausdruck $\bar{\bar{z}}$, um die gesuchte Zahl $z$ zu erhalten:</p>


<p>Bilde den 2-fach komplex konjugierten Ausdruck <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\bar{\bar{z}}" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.257ex" height="1.957ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -854 555.6 865" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3828-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-3828-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" transform="translate(17.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-3828-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(55.6, -42)"><use xlink:href="#MJX-3828-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(27.8, 164)"><use xlink:href="#MJX-3828-TEX-N-AF"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>, um die gesuchte Zahl <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.052ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 465 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3829-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3829-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zu erhalten:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow&amp;&amp; z&amp;=\bar{\bar{z}}=-1+2 i</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Bilde die Polarform $z=a+i \cdot b=|r| \cdot e^{i \varphi}$:</p>


<p>Bilde die Polarform <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z=a+i \cdot b=|r| \cdot e^{i \varphi}" style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.113ex" height="2.443ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -830.4 9331.8 1079.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3831-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-3831-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3831-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-3831-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-3831-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3831-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-3831-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-3831-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-3831-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3831-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path><path id="MJX-3831-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1798.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2549.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3550, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4117.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4617.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5324.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6380, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6658, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7109, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7609.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(8109.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345, 0)"><use xlink:href="#MJX-3831-TEX-I-1D711"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>Berechne den Radius (Betrag) der komplexen Zahl:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>|z|&amp;=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\</p>
<p>&amp;=\sqrt{\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}} \\</p>
<p>&amp;=\sqrt{5}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Da $a&amp;lt;0$ und $b&amp;gt;0$, nutze $\varphi=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)+\pi$:</p>


<p>Da <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a<0" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.345ex" height="1.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2362.6 706" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3833-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-3833-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 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xlink:href="#MJX-3835-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-3835-TEX-I-1D44E"></use></g><rect width="574.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1272.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-3835-TEX-SO-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6887.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-3835-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7887.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-3835-TEX-I-1D70B"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\varphi&amp;=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)+\pi \\</p>
<p>&amp;= \arctan \left(\frac{2}{-1}\right)+\pi \\</p>
<p>&amp;\approx 2,03</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Setze deine Ergebnisse für Winkel und Radius in die Polarform ein:</p>

<p>Berechne $z=a+i \cdot b$ für folgende Gleichung:</p>
<p>$$\left(\frac{1-2 i}{2-i}-\frac{3+2 i}{1+2 i}\right) \cdot \bar{z}=\frac{i-1}{i}$$</p>
<p>Forme anschließend dein Ergebnis in die exponentielle Polarform um.</p>

<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z=a+i \cdot b" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.417ex" height="1.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 5046.4 776" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3821-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-3821-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3821-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-3821-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-3821-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3821-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-3821-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3821-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3821-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1798.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3821-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2549.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3821-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3550, 0)"><use xlink:href="#MJX-3821-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4117.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3821-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4617.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3821-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für folgende Gleichung:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\left(\frac{1-2 i}{2-i}-\frac{3+2 i}{1+2 i}\right) \cdot \bar{z}=\frac{i-1}{i}" style="vertical-align: -2.148ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="31.286ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 13828.4 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3822-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-3822-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-3822-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-3822-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-3822-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3822-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-3822-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 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214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-3822-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path><path id="MJX-3822-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(736, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2222.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-I-1D456"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(470, -686)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-I-1D456"></use></g></g><rect width="2767.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3965.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4965.9, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2222.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-I-1D456"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -686)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2222.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-I-1D456"></use></g></g><rect width="2767.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7973.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8931.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(9431.8, 0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" transform="translate(17.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(55.6, -42)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10265.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(11320.9, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(567.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1567.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1081.2, -686)"><use xlink:href="#MJX-3822-TEX-I-1D456"></use></g><rect width="2267.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>Forme anschließend dein Ergebnis in die exponentielle Polarform um.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Komplexe Gleichungen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Komplexe Zahlen - Komplexe Gleichungen | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Lineare komplexe Gleichungen (n=1) lösen</h2>
<p>Ist die höchste Potenz ($n=1$), löse direkt nach $z$ auf, falls möglich. Falls nicht tue alternativ folgendes:</p>
<ol>
<li>Ersetze jedes $z$ durch $z=a+ib$ und jedes $\bar{z}=a-ib$<br /><br /></li>
<li>Berechne Werte für $a$ und $b$.<br /><em>Es kann helfen den entstandenen Ausdruck nach Termen ohne "i" (Realteil) und mit $i$ (Imaginärteil) zu trennen. Anschließend kannst du jeweils eine Bedingung für den Real- und Imaginärteil aufschreiben, woraus du 2 Gleichungen erhälst.</em></li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Lineare komplexe Gleichungen (n=1) lösen</h2>
<p>Ist die höchste Potenz (<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n=1" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-525-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-525-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-525-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-525-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-525-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-525-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>), löse direkt nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.052ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 465 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-526-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-526-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auf, falls möglich. Falls nicht tue alternativ folgendes:</p>
<ol>
<li>Ersetze jedes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.052ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 465 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-527-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" 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<li>Berechne Werte für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-530-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-530-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="b" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-531-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-531-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.<br /><em>Es kann helfen den entstandenen Ausdruck nach Termen ohne "i" (Realteil) und mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-532-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-532-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> (Imaginärteil) zu trennen. Anschließend kannst du jeweils eine Bedingung für den Real- und Imaginärteil aufschreiben, woraus du 2 Gleichungen erhälst.</em></li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Quadratische komplexe Gleichung (n=2):</h2>
<ol>
<li>Bringe die Gleichung auf die Form $z^2 + p\cdot z +q=0$<br /><br /></li>
<li>Nutze die $pq$-Formel: $$ \quad z_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}$$</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Quadratische komplexe Gleichung (n=2):</h2>
<ol>
<li>Bringe die Gleichung auf die Form <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z^2 + p\cdot z +q=0" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.585ex" height="2.326ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 7330.4 1027.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-533-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-533-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-533-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-533-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path id="MJX-533-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-533-TEX-I-1D45E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q340 441 372 389Q373 390 377 395T388 406T404 418Q438 442 450 442Q454 442 457 439T460 434Q460 425 391 149Q320 -135 320 -139Q320 -147 365 -148H390Q396 -156 396 -157T393 -175Q389 -188 383 -194H370Q339 -192 262 -192Q234 -192 211 -192T174 -192T157 -193Q143 -193 143 -185Q143 -182 145 -170Q149 -154 152 -151T172 -148Q220 -148 230 -141Q238 -136 258 -53T279 32Q279 33 272 29Q224 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-533-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-533-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" 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<li>Nutze die <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="pq" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.179ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 963 636" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-534-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 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</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Kubische komplexe Gleichung (n=3):</h2>
<ol>
<li>Rate eine (reelle) Nullstelle.</li>
<li>Führe eine Polynomdivision mit der gefundenen Nullstelle durch.</li>
<li>Löse das Restpolynom mittels $pq$-Formel (siehe quadratische Gleichung).</li>
</ol>
<p><strong>Hinweis:</strong> Wenn ein Polynom mit $n&amp;gt;3$ vorliegt, musst du ggf. mehrere Polynomdivisionen durchführen, bis eine quadratische Gleichung vorliegt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Kubische komplexe Gleichung (n=3):</h2>
<ol>
<li>Rate eine (reelle) Nullstelle.</li>
<li>Führe eine Polynomdivision mit der gefundenen Nullstelle durch.</li>
<li>Löse das Restpolynom mittels <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="pq" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.179ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 963 636" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-536-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path id="MJX-536-TEX-I-1D45E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q340 441 372 389Q373 390 377 395T388 406T404 418Q438 442 450 442Q454 442 457 439T460 434Q460 425 391 149Q320 -135 320 -139Q320 -147 365 -148H390Q396 -156 396 -157T393 -175Q389 -188 383 -194H370Q339 -192 262 -192Q234 -192 211 -192T174 -192T157 -193Q143 -193 143 -185Q143 -182 145 -170Q149 -154 152 -151T172 -148Q220 -148 230 -141Q238 -136 258 -53T279 32Q279 33 272 29Q224 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45D" xlink:href="#MJX-536-TEX-I-1D45D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(503,0)"><use data-c="1D45E" xlink:href="#MJX-536-TEX-I-1D45E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Formel (siehe quadratische Gleichung).</li>
</ol>
<p><strong>Hinweis:</strong> Wenn ein Polynom mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n>3" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2433.6 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-537-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-537-TEX-N-3E" d="M84 520Q84 528 88 533T96 539L99 540Q106 540 253 471T544 334L687 265Q694 260 694 250T687 235Q685 233 395 96L107 -40H101Q83 -38 83 -20Q83 -19 83 -17Q82 -10 98 -1Q117 9 248 71Q326 108 378 132L626 250L378 368Q90 504 86 509Q84 513 84 520Z"></path><path id="MJX-537-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-537-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="3E" xlink:href="#MJX-537-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-537-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> vorliegt, musst du ggf. mehrere Polynomdivisionen durchführen, bis eine quadratische Gleichung vorliegt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Biquadratische Gleichung (n=2,4,6...)</h2>
<p>Biquadratische Gleichung ($z^4 \dots \ z^2 \dots \;$):</p>
<ol>
<li>Substituiere: $z^2=w$<br /><br /></li>
<li>Löse die neu entstandenen Gleichung $w^2 + p\cdot w +q=0$ mittels $pq$-Formel.<br />$$\quad \Rightarrow w_1, w_2$$<br /><br /></li>
<li>Resubstituiere, um die 4 Lösungen für $z$ zu erhalten:<br />$$\quad \Rightarrow z_{1,2}=\pm \sqrt{w_1}$$<br />$$\quad \Rightarrow z_{3,4}=\pm \sqrt{w_2}$$</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: