Gaußverfahren

Lösungsmenge bestimmen (Gaußverfahren)

Mit der Regel von Cramer lässt sich die Lösung eines eindeutig lösbaren linearen Gleichungssystems mit Hilfe von Determinanten berechnen. 

Cramer'sche Regel

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

\begin{align*}L=\left\{x \in \mathbb{R}^{5} \bigg| x=\left(\begin{array}{c}
3 \\
0 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right) \quad, \quad r, s \in \mathbb{R}\right\}\end{align*}

1. Definiere die erweiterte Koeffizientenmatrix

\begin{align*}
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 3 \\
1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -3 &amp; 0 &amp; 6 \\
2 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -1 &amp; 5 \\
-1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -2 &amp; -1 &amp; -1
\end{array}\right)
\quad
\begin{array}{l}
(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{II}) \\
(\mathrm{III}) \\
(\mathrm{IV})
\end{array}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 0 & -3 & 0 & 6 \\
2 & -1 & 0 & 1 & -1 & 5 \\
-1 & 2 & 0 & -2 & -1 & -1
\end{array}\right)
\quad
\begin{array}{l}
(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{II}) \\
(\mathrm{III}) \\
(\mathrm{IV})
\end{array}
\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="37.554ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 16599 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4584-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-4584-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-4584-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 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transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4556, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6445, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8334, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(11071, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-35"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2100)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2667, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4556, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6056, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8334, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(10682, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g></g><line data-line="v" class="mjx-solid" x1="10147" y1="-2350" x2="10147" y2="2850"></line></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12835, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 1696)"></use><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1706)"></use><svg width="875" height="1782" y="-641" x="0" viewBox="0 402.4 875 1782"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 4.311)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(13710, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(14710, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 2100)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(361, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1111, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(361, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(722, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1472, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2100)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(361, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1500, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

2. Bring die erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform

\begin{align*}
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 3 \\
0 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -3 &amp; -1 &amp; 3 \\
0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -3 &amp; -1 \\
0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -2 &amp; 0 &amp; 2
\end{array}\right)
\quad
\begin{array}{l}
 \\
(\mathrm{II})^* \phantom{i} :=(\mathrm{II})-(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{III})^* :=(\mathrm{III})-2\cdot(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{IV})^* :=(\mathrm{IV})+(\mathrm{I})
\end{array}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 0 & -3 & -1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 & -3 & -1 \\
0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 2
\end{array}\right)
\quad
\begin{array}{l}
 \\
(\mathrm{II})^* \phantom{i} :=(\mathrm{II})-(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{III})^* :=(\mathrm{III})-2\cdot(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{IV})^* :=(\mathrm{IV})+(\mathrm{I})
\end{array}
\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="52.609ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 23253 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4585-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-4585-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-4585-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 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277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-4585-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 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Es gibt eine Nullzeile in der erweiterten Koeffizientenmatrix. Wähle daher für jede Abweichung von der Zeilenstufdorm (hier für Spalte 3 und 5) einen freien Parameter. Setze also z.B. $x_3 = r$ und $x_5=s$ und bestimme die Lösungen für $x_1,x_2,x_3$ durch Einsetzen.

Es gibt eine Nullzeile in der erweiterten Koeffizientenmatrix. Wähle daher für jede Abweichung von der Zeilenstufdorm (hier für Spalte 3 und 5) einen freien Parameter. Setze also z.B. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_3 = r" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.245ex" height="1.694ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 2760.1 748.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4588-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path 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<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{array}{l}
\Rightarrow x_{4}&=-1+s \\
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\Rightarrow x_{1}&=3+2s-s\\&=3+s
\end{array}" style="vertical-align: -6.9ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="28.843ex" height="14.932ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3550 12748.4 6600" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4591-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-4591-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 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Damit ergibt sich die Lösungsgesamtheit des LGS:

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem $A x=b$

\begin{align*}\left(\begin{array}{ccccc}
1 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -3 &amp; 0 \\
2 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -1 \\
-1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -2 &amp; -1
\end{array}\right) \cdot x=\left(\begin{array}{c}
3 \\
6 \\
5 \\
-1
\end{array}\right) \quad, \quad x \in \mathbb{R}^{5}.\end{align*}
Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A x=b" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.979ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 3084.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4582-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-4582-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4582-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-4582-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4582-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(750, 0)"><use xlink:href="#MJX-4582-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1599.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-4582-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2655.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-4582-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></mjx-container>

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -3 & 0 \\
2 & -1 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & 0 & -2 & -1
\end{array}\right) \cdot x=\left(\begin{array}{c}
3 \\
6 \\
5 \\
-1
\end{array}\right) \quad, \quad x \in \mathbb{R}^{5}.\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="51.269ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 22660.8 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4583-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-4583-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-4583-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 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Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gaußverfahren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Lineare Gleichungssysteme lösen - Gaußverfahren | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Lineares Gleichungssystem mit Gauß lösen</h2>
<ol>
<li>Schreibe die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A | b)$ des Gleichungssystems auf, indem du die Variablen weglässt und nur die Koeffizienten in eine Matrix schreibst.</li>
<li>Verwende den Gauß-Algorithmus, um die erweiterte Koeffizientenmatrix in die Zeilenstufenform zu bringen. Ziehe hierfür ein vielfaches der erste Zeile von den unteren Zeilen ab, sodass bei diesen jeweils eine $0$ in der ersten Spalte entsteht. Wiederhole dieses Vorgehen nun mit der jeweils nächsten Zeile bis in der Matrix überall Nullen unter der Hauptdiagonalen stehen. Es kann helfen durch Zeilentausch die betragsmäßig kleinste Zahl (außer 0) in die jeweils linke obere ecke zu bringen. 
\begin{align*} \quad \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}
*&amp; \cdots &amp; * &amp; *\\
&amp; \ddots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
\color{#DC6955}{0} &amp; &amp; * &amp; *
\end{array}\right)\end{align*}
</li>
<li>
Bestimme die Lösungsmenge:
<ul>
<li>
Wenn die Zeilenstufenform Dreiecksgestalt annimmt, existiert genau eine Lösung. $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A | b)=n$ (Anzahl der Variablen) $\Rightarrow$ Die Lösung erhälst du durch Einsetzen.
</li>
<li>
Wenn es eine Nullzeile in der Koeffizientenmatrix gibt, rechts im Lösungsvektor $b$ aber keine $0$ in dieser Zeile steht, kann es keine Lösung geben. $\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A | b)$ $\Rightarrow$ Die Lösungsmenge ist in diesem Fall die leere Menge, also $L=\varnothing$.
</li>
<li>
Wenn es eine Nullzeile in der erweiterten Koeffizientenmatrix oder mehr Variablen als Zeilen gibt, so existieren unendlich viele Lösungen. $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A | b)&amp;lt;n$ $\Rightarrow$ Den Lösungsraum kannst du bestimmen, indem du die $x_i$, die nicht an einer Stufenkante stehen, durch einen freien Parameter (z.B. $\lambda_i \in \mathbb{R}$), ersetzt.
</li>
</ul>
</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: