Gaußverfahren

Lösungsmenge bestimmen (Gaußverfahren)

Mit der Regel von Cramer lässt sich die Lösung eines eindeutig lösbaren linearen Gleichungssystems mit Hilfe von Determinanten berechnen. 

Cramer'sche Regel

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\begin{align*}L=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \left| \quad x=s \cdot\left(\begin{array}{c}</p><p>-3 \\</p><p>0 \\</p><p>1</p><p>\end{array}\right)\right.+t \cdot\left(\begin{array}{c}</p><p>-2 \\</p><p>1 \\</p><p>0</p><p>\end{array}\right), s, t \in \mathbb{R}\right\}\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p>
<p>\left(\begin{array}{lll}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 0 \\</p>
<p>2 &amp; 4 &amp; \mu &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\rightarrow</p>
<p>\left(\begin{array}{ccc|c}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; \mu-6 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Überlege für welchen Wert von $\mu$ das LGS lösbar ist.</p>


<p>Überlege für welchen Wert von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mu" style="vertical-align: -0.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.364ex" height="1.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 603 658" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6095-TEX-I-1D707" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6095-TEX-I-1D707"></use></g></g></g></svg></mjx-container> das LGS lösbar ist.</p>


<p style="padding-left: 40px;">Das LGS hat nur für $\mu=6$ eine Lösung.</p>


<p style="padding-left: 40px;">Das LGS hat nur für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mu=6" style="vertical-align: -0.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.513ex" height="1.995ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2436.6 882" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6096-TEX-I-1D707" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path><path id="MJX-6096-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6096-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6096-TEX-I-1D707"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(880.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6096-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1936.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-6096-TEX-N-36"></use></g></g></g></svg></mjx-container> eine Lösung.</p>


<p>Wähle nun z.B. $z=s$ und $y=t$ mit $s,t\in \mathbb{R}$ und berechne eine Lösung für $x$ durch Einsetzen in die ersten Zeile:</p>


<p>Wähle nun z.B. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z=s" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.13ex" height="1.505ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 2267.6 665" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6097-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-6097-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6097-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6097-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6097-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1798.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-6097-TEX-I-1D460"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y=t" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.942ex" height="1.88ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 2184.6 831" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6098-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6098-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6098-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6098-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6098-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1823.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-6098-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="s,t\in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.283ex" height="1.984ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 3219.2 877" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6099-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 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140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6099-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(469, 0)"><use xlink:href="#MJX-6099-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(913.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-6099-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1552.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6099-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2497.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6099-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> und berechne eine Lösung für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6100-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6100-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> durch Einsetzen in die ersten Zeile:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>x+2y+3z=0 \\</p>
<p>\Rightarrow x=-2t-3s</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Damit ergibt sich die Lösungsmenge:</p>

<p>Für welche Werte $\mu \in \mathbb{R}$ hat </p><p>$\left(\begin{array}{lll}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 2 &amp; 4 &amp; \mu\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)$ </p><p>eine Lösung? Gib in diesem Fall die Lösungsmenge an.</p>

<p>Für welche Werte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mu \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.764ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2547.6 899" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6092-TEX-I-1D707" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path><path 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Gib in diesem Fall die Lösungsmenge an.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gaußverfahren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Lineare Gleichungssysteme lösen - Gaußverfahren | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Lineares Gleichungssystem mit Gauß lösen</h2>
<ol>
<li>Schreibe die <strong>erweiterte Koeffizientenmatrix</strong> $(A | b)$ des Gleichungssystems auf, indem du die Variablen weglässt und nur die Koeffizienten in eine Matrix schreibst.</li>
<li>Verwende den <strong>Gauß-Algorithmus</strong>, um die erweiterte Koeffizientenmatrix in die <strong>Zeilenstufenform</strong> zu bringen. Ziehe hierfür ein vielfaches der erste Zeile von den unteren Zeilen ab, sodass bei diesen jeweils eine $0$ in der ersten Spalte entsteht. Wiederhole dieses Vorgehen nun mit der jeweils nächsten Zeile bis in der Matrix überall Nullen unter der Hauptdiagonalen stehen.<br /><em>Es kann helfen durch Zeilentausch die betragsmäßig kleinste Zahl (außer 0) in die jeweils linke obere ecke zu bringen.<br /></em>
<p>\begin{align*} \quad \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}</p>
<p>*&amp; \cdots &amp; * &amp; *\\</p>
<p>&amp; \ddots &amp; \vdots &amp; \vdots \\</p>
<p>\color{#DC6955}{0} &amp; &amp; * &amp; *</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>
</li>
<li>
<p>Bestimme die <strong>Lösungsmenge</strong>:</p>
<ul>
<li>
<p>Wenn die Zeilenstufenform Dreiecksgestalt annimmt, existiert <strong>genau eine Lösung</strong>. $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A | b)=n$ (Anzahl der Variablen)<br />$\Rightarrow$ Die Lösung erhälst du durch Einsetzen.</p>
</li>
<li>
<p>Wenn es eine Nullzeile in der Koeffizientenmatrix gibt, rechts im Lösungsvektor $b$ aber keine $0$ in dieser Zeile steht, kann es <strong>keine Lösung</strong> geben. $\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A | b)$<br />$\Rightarrow$ Die Lösungsmenge ist in diesem Fall die leere Menge, also $L=\varnothing$.</p>
</li>
<li>
<p>Wenn es eine Nullzeile in der erweiterten Koeffizientenmatrix oder mehr Variablen als Zeilen gibt, so existieren <strong>unendlich viele Lösungen</strong>. $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A | b)&amp;lt;n$<br />$\Rightarrow$ Den Lösungsraum kannst du bestimmen, indem du die $x_i$, die nicht an einer Stufenkante stehen, durch einen freien Parameter (z.B. $\lambda_i \in \mathbb{R}$), ersetzt.</p>
</li>
</ul>
</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: