Gaußverfahren

Lösungsmenge bestimmen (Gaußverfahren)

Mit der Regel von Cramer lässt sich die Lösung eines eindeutig lösbaren linearen Gleichungssystems mit Hilfe von Determinanten berechnen. 

Cramer'sche Regel

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

<p>\begin{align*}</p>
<p>L=\left\{\left(</p>
<p>\begin{array}{c}</p>
<p>\frac{3+i}{5}\\\frac{3-4i}{5}\\\frac{3+6i}{5}</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\right)\right\}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>1. Definiere die erweiterte Koeffizientenmatrix</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\left(\begin{array}{ccc|c}</p>
<p>2 &amp; 0 &amp; i &amp; i \\</p>
<p>1 &amp; -3 &amp; -i &amp; 2 i \\</p>
<p>i &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1+i</p>
<p>\end{array}\right) </p>
<p>\quad</p>
<p>\begin{array}{l}</p>
<p>(\mathrm{I}) \\</p>
<p>(\mathrm{II}) \\</p>
<p>(\mathrm{III})</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>2. Bring die erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\left(\begin{array}{ccc|c}</p>
<p>1 &amp; -3 &amp; -i &amp; 2i \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; \frac{i}{2} &amp; -\frac{i}{2} \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; \frac{3-4i}{5}</p>
<p>\end{array}\right) </p>
<p>\quad</p>
<p>\begin{array}{l}</p>
<p>(\mathrm{II}) \\</p>
<p>(\mathrm{II})^* \phantom{i} :=((\mathrm{I})-2 \cdot (\mathrm{II}))/6 \\</p>
<p>(\mathrm{III})^*:=((\mathrm{III})- i \cdot (\mathrm{II}))\cdot\frac{1-3i}{10}</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\left(\begin{array}{ccc|c}</p>
<p>1 &amp; -3 &amp; -i &amp; 2i \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; \frac{3-4i}{5} \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{3+6i}{5}</p>
<p>\end{array}\right) </p>
<p>\quad</p>
<p>\begin{array}{l}</p>
<p> \\</p>
<p>(\mathrm{III})^* \\</p>
<p>((\mathrm{II})^*-(\mathrm{III})^*)\cdot (-2i)</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Aus der erweiterten Koeffizientenmatrix kannst du zwei Werte direkt ablesen. Durch Einsetzen erhälst du dann auch den letzten Wert. </p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>z_2&amp;= \frac{3-4i}{5}\\</p>
<p>z_3&amp;= \frac{3+6i}{5}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow z_1 &amp;= 2i+3\frac{3-4i}{5}+i\frac{3+6i}{5}\\&amp;=\frac{3+i}{5}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Löse das folgende komplexe Gleichungssystem:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>2 z_{1} + i z_{3}&amp;=i\\</p>
<p>z_{1} - 3 z_{2} - i z_{3} &amp;=2 i \\</p>
<p>i z_{1} + z_{2} + z_{3} &amp;=1+i</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Löse das folgende komplexe Gleichungssystem:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
2 z_{1} + i z_{3}&=i\\
z_{1} - 3 z_{2} - i z_{3} &=2 i \\
i z_{1} + z_{2} + z_{3} &=1+i
\end{align*}" style="vertical-align: -3.507ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.033ex" height="8.145ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2050 9296.5 3600" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4634-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-4634-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-4634-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-4634-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-4634-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-4634-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gaußverfahren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Lineare Gleichungssysteme lösen - Gaußverfahren | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Lineares Gleichungssystem mit Gauß lösen</h2>
<ol>
<li>Schreibe die <strong>erweiterte Koeffizientenmatrix</strong> $(A | b)$ des Gleichungssystems auf, indem du die Variablen weglässt und nur die Koeffizienten in eine Matrix schreibst.</li>
<li>Verwende den <strong>Gauß-Algorithmus</strong>, um die erweiterte Koeffizientenmatrix in die <strong>Zeilenstufenform</strong> zu bringen. Ziehe hierfür ein vielfaches der erste Zeile von den unteren Zeilen ab, sodass bei diesen jeweils eine $0$ in der ersten Spalte entsteht. Wiederhole dieses Vorgehen nun mit der jeweils nächsten Zeile bis in der Matrix überall Nullen unter der Hauptdiagonalen stehen.<br /><em>Es kann helfen durch Zeilentausch die betragsmäßig kleinste Zahl (außer 0) in die jeweils linke obere ecke zu bringen.<br /></em>
<p>\begin{align*} \quad \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}</p>
<p>*&amp; \cdots &amp; * &amp; *\\</p>
<p>&amp; \ddots &amp; \vdots &amp; \vdots \\</p>
<p>\color{#DC6955}{0} &amp; &amp; * &amp; *</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>
</li>
<li>
<p>Bestimme die <strong>Lösungsmenge</strong>:</p>
<ul>
<li>
<p>Wenn die Zeilenstufenform Dreiecksgestalt annimmt, existiert <strong>genau eine Lösung</strong>. $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A | b)=n$ (Anzahl der Variablen)<br />$\Rightarrow$ Die Lösung erhälst du durch Einsetzen.</p>
</li>
<li>
<p>Wenn es eine Nullzeile in der Koeffizientenmatrix gibt, rechts im Lösungsvektor $b$ aber keine $0$ in dieser Zeile steht, kann es <strong>keine Lösung</strong> geben. $\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A | b)$<br />$\Rightarrow$ Die Lösungsmenge ist in diesem Fall die leere Menge, also $L=\varnothing$.</p>
</li>
<li>
<p>Wenn es eine Nullzeile in der erweiterten Koeffizientenmatrix oder mehr Variablen als Zeilen gibt, so existieren <strong>unendlich viele Lösungen</strong>. $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A | b)&amp;lt;n$<br />$\Rightarrow$ Den Lösungsraum kannst du bestimmen, indem du die $x_i$, die nicht an einer Stufenkante stehen, durch einen freien Parameter (z.B. $\lambda_i \in \mathbb{R}$), ersetzt.</p>
</li>
</ul>
</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: