Es seien zwei Untervektorräume des Vektorraums (über ).
Zeige:
a) ist ein Untervektorraum von .
b) ist im Allgemeinen kein Untervektorraum von .
a) Zeige ist ein Untervektorraum von
Zeige
Da und ist, ist auch .
Zeige für alle
Seien
Zeige für alle und
Sei
Insgesamt ist also ein Untervektorraum von .
b) Zeige, dass im Allgemeinen kein Untervektorraum von ist, indem du ein Gegenbeispiel angibst.
Sei und
Dann sind und offensichtlich Untervektorräume von
Prüfe, ob ein Untervektorraum von sein kann.
Es sind aber Demnach ist kein Untervektorraum von .
Damit sind alle Aussagen bewiesen.