Lineare Algebra 

Inverse einer Matrix

Matrix invertieren

Darstellungsmatrizen

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Addition und Multiplikation von Matrizen

Das Transponieren einer Matrix ist ein weiteres Grundwerkzeug zum Rechnen mit Matrizen. Viele Operationen kannst du mit der Bildung der transponierten Matrix vertauschen oder vereinfachen.

Transponieren

Matrix transponieren

Den Rang einer Matrix berechnen zu können bietet die Grundlage für die Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Darüber hinaus können mit ihm Aussagen über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen getroffen werden.

Rang

Rang einer Matrix ermitteln

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor $x$ multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-30-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild einer Matrix

Der Kern einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, welche bei einer Multiplikation mit ihr zu Null werden. Der Defekt gibt weiter an, aus wie vielen linear unabhängigen Vektoren dein Kern besteht.

Kern und Defekt

Kern einer Matrix

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{kern}(A) &amp;= \left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-3 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>-7 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle \\\\</p>
<p>\operatorname{def}(A)&amp;=2\end{align*}$$</p>

<p>Es gilt: $$\operatorname{kern}(A)=\left\{v \in \mathbb{R}^{4} | A v=0\right\}$$</p>


<p>Bestimme die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems $A v=0$ mittels Gaußverfahren:</p>


<p>Bestimme die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A v=0" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.942ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 3068.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-63-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-63-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-63-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-63-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-63-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(750,0)"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-63-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1512.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-63-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2568.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-63-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mittels Gaußverfahren:</p>


<p>$$\left(\begin{array}{cccc|c}</p>
<p>1 &amp; 3 &amp; 0 &amp; -2 &amp; 0 \\</p>
<p>-1 &amp; 4 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)$$</p>


<p>Bringe den Ausdruck in die Zeilenstufenform:</p>


<p>$$\quad\begin{align*}</p>
<p>\overset{Z_2 + Z_1}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cccc|c}</p>
<p>1 &amp; 3 &amp; 0 &amp; -2 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 7 &amp; 1 &amp; -1 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>


<p>Finde Ausdrücke für $v_1, v_2, v_3, v_4$ durch Einführen von Parametern und anschließendem Lösen des Gleichungssystems.</p>
<p>Setze z.B. $v_{4}=s, \ v_{2}= t$ mit $s,t \in \mathbb{R}$.</p>
<p>Aus den Gleichungen folgt nun für $v_3, v_1$:</p>


<p>Finde Ausdrücke für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v_1, v_2, v_3, v_4" style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.358ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 5020.2 637" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-66-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-66-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-66-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-66-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-66-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-66-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-66-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-66-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(921.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-66-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1366.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-66-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-66-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2287.8,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-66-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2732.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-66-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-66-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3654,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-66-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4098.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-66-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-66-TEX-N-34"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> durch Einführen von Parametern und anschließendem Lösen des Gleichungssystems.</p>
<p>Setze z.B. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v_{4}=s, \ v_{2}= t" style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.654ex" height="1.855ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 6034.9 820" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-67-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-67-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-67-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-67-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-67-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-67-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-67-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-67-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-67-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-67-TEX-N-34"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1199.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-67-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2255.1,0)"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-67-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2724.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-67-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(3168.8,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-67-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3418.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-67-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-67-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4618.1,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-67-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5673.9,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-67-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="s,t \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.283ex" height="1.984ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 3219.2 877" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-68-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-68-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-68-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-68-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-68-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-68-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(469,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-68-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(913.7,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-68-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1552.4,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-68-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2497.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-68-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>
<p>Aus den Gleichungen folgt nun für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v_3, v_1" style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.176ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 2287.8 637" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-69-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-69-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-69-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-69-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-69-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-69-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(921.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-69-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1366.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-69-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-69-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>$$\quad \begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow v_{3}&amp;=-7 t+s \\</p>
<p>\Rightarrow v_{1}&amp;=-3 t+2 s</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Ausgeschrieben ergibt sich somit folgender Kern von $A$:</p>


<p>Ausgeschrieben ergibt sich somit folgender Kern von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-71-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-71-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>$$\begin{align*}\operatorname{kern}(A)&amp;= \left\{v \in \mathbb{R}^{4} \bigg| v=s\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-3 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>-7 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right), s, t \in \mathbb{R}\right\} \\\\</p>
<p>&amp;=\left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>2 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-3 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>-7 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right)\right\rangle</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Der Defekt von $A$ ergibt sich aus der Dimension des Kerns: </p>


<p>Der Defekt von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-73-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-73-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt sich aus der Dimension des Kerns: </p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{def}(A)=\operatorname{dim}(\operatorname{kern}(A))=2\end{align*}$$</p>

<p>Berechne den Kern und Defekt der folgenden Matrix.</p>
<p>$$\begin{align*}A=\left(\begin{array}{cccc}</p>
<p>1 &amp; 3 &amp; 0 &amp; -2 \\</p>
<p>-1 &amp; 4 &amp; 1 &amp; 1</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>

<p>Berechne den Kern und Defekt der folgenden Matrix.</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 3 & 0 & -2 \\
-1 & 4 & 1 & 1
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Kern und Defekt mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: