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Aufgabenstellung:

Untersuche die Stetigkeit der folgenden Funktion:

Lösungsweg:

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1. Für welche Werte ist offensichtlich eine stetige Funktion?

ist für aus stetigen Funktionen zusammengesetzt und somit stetig, da gilt

2. Vermutung über Stetigkeit in :

Wegen liegt die Vermutung einer Unstetigkeit im Nullpunkt nahe.

3. Beweise die Vermutung:

Um Unstetigkeit im Nullpunkt zu beweisen, führe geeignete Nullfolgen für ein, für die gilt:

,

Setze die beiden Folgen in die Funktion ein:

Nutze die Kleinwinkelnäherung für den Sunus: für

Bestimme den Grenzwert :

Wegen gilt:

Lösung:

Dies widerspricht der Stetigkeitsforderung. Damit ist im Ursprung unstetig, im restlichen, zweidimensionalen Raum der realen Zahlen stetig.