Stetigkeit (mehrdimensional)

Partielle Ableitungen (Gradient)

Produktregel

Kettenregel

Ableitungsregeln (Übersicht)

Partielle Ableitungen

Der Gradient

Existenz von partiellen Ableitungen

Satz von Schwarz

Richtungsableitung

Existenz der Richtungsableitung

Skalarprodukt

Rechnen mit Vektoren

Multiindex-Notation

Differenzierbarkeit (total, partiell, Richtung)

Totale Differenzierbarkeit

Jakobi-Matrix (totale Ableitung)

Jacobi-Matrix

Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix

Extrema (mehrdimensional)

Eigenwerte, Eigenräume und Eigenvektoren

Definitheit von Matrizen

Mehrdimensionale Extremstellen

Hauptminorantenkriterium

Definitheitsbestimmung über Eigenwertmethode

Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)

Mehrdimensionale Extrema mit Nebenbedingungen

Gleichungssysteme lösen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>$f(x, y)$ ist in $\mathbb{R}^{2}$ stetig</p>

<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x, y)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.413ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2834.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-156-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-156-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-156-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-156-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-156-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-156-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-156-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-156-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-156-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-156-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1955.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-156-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2445.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-156-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{R}^{2}" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.621ex" height="1.887ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1158.6 833.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-157-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path><path id="MJX-157-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-157-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(755,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-157-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> stetig</p>

<p>$f$ ist für $(x, y) \neq(0,0)$ eine Komposition stetiger Funktionen und somit stetig in diesem Bereich.</p>
<p>Untersuche Stetigkeit in $(x, y)=(0,0)$.</p>
<p>Zeige dafür dass gilt: $$\lim _{(x, y) \rightarrow (0,0)} f(x, y)=f(0,0)=0$$</p>


<div class="step">
<div>Transformiere von kartesischen zu Polarkoordinaten:</div>
</div>


<p>$$x=r \cdot \cos (\varphi),\quad y=r \cdot \sin (\varphi),\quad r&amp;gt;0,\quad0&amp;lt;\varphi \leq 2 \pi$$</p>


<div class="step">
<div>
<div class="step">
<div>
<div class="step">
<div>
<div class="step">
<div>Setze die Polarkoordinaten in $f$ ein:</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>


<div class="step">
<div>
<div class="step">
<div>
<div class="step">
<div>
<div class="step">
<div>Setze die Polarkoordinaten in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-145-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-145-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein:</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>


<p>Mit $\sin ^{2}(\varphi)+\cos ^{2}(\varphi)=1$ und $\arctan \left(\sin ^{2}(\alpha)\right) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \forall\alpha\in\mathbb{R}$ ($\arctan$ ist nach oben und unten beschränkt) erhältst Du:</p>


<p>\[\begin{aligned}\quad </p>
<p>f(x, y)&amp;=r \cdot \sin (\varphi) \cdot \arctan \left(\frac{r^{2} \cdot \sin ^{2}(\varphi)}{r^{2}}\right) \\\\</p>
<p>&amp;=r \cdot \sin (\varphi) \cdot \arctan \left(\sin ^{2}(\varphi)\right)</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>Bilde den Grenzwert $r \rightarrow 0$</p>


<p>Bilde den Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="r \rightarrow 0" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.671ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2506.6 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-150-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-150-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-150-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-150-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(728.8,0)"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-150-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2006.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-150-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>f(x, y)&amp;=r \cdot \sin (\varphi) \cdot \arctan \left(\sin ^{2}(\varphi)\right) \underset{r \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>$f(x, y)$ ist stetig im Punkt $(0,0)$. Insgesamt ist $f(x, y)$ somit in $\mathbb{R}^{2}$ stetig.</p>

<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x, y)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.413ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2834.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-152-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-152-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-152-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-152-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-152-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-152-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-152-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-152-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-152-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-152-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1955.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-152-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2445.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-152-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist stetig im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(0,0)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.029ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2222.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-153-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-153-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-153-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-153-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-153-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-153-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-153-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.7,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-153-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1833.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-153-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Insgesamt ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x, y)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.413ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2834.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-154-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path 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287Z"></path><path id="MJX-154-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-154-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-154-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-154-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-154-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1955.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-154-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" 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341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path><path id="MJX-155-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-155-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(755,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-155-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> stetig.</p>

<p>Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ mit:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$$f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}</p>
<p>y \cdot \arctan \left(\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right) &amp; , \quad(x, y) \neq(0,0) \\</p>
<p>0 &amp; , \quad(x, y)=(0,0)</p>
<p>\end{array}\right.$$</p>
<p>Untersuche die Stetigkeit von $f$</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Stetigkeit (mehrdimensional) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Grundlagen - Stetigkeit (mehrdimensional) | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading"><strong>Stetigkeit zeigen (mehrdimensional)</strong></h2>
<ol>
<li>Prüfe, in welchen Definitionsbereichen die Funktion eine Komposition (Zusammensetzung/Verkettung) aus stetigen Funktionen ist.<br /><br /></li>
<li>Überprüfe nun die Stetigkeit im kritischen Punkt $(x_0,y_0)$. Dazu schreibst du die Variablen in Polarkoordinaten:<br />$x - {x_0}=rcos(\varphi)$ <br />$y- y_0=rsin(\varphi)$mit $r&gt;0, \quad 0 \leq \varphi&lt;2 \pi$<br /><br /></li>
<li>Stelle jeweils nach $x$ und $y$ um:<br />$x =rcos(\varphi)+{x_0}$<br />$y =rsin(\varphi)+y_0$ mit $r&gt;0, \quad 0 \leq \varphi&lt;2 \pi$<br /><br /></li>
<li>Setze $x$ und $y$ in die Funktion ein (für  Definitionsbereich $(x,y) \neq (x_0,y_0)$) und berechne:<br />$$\quad \Rightarrow \lim_{r \to 0} f(x,y)$$</li>
<li>Wenn dieser Grenzwert ($\lim_{r\to 0} f(x,y)$) dem Funktionswert an der Stelle $(x_0,y_0)$ entspricht, dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig!</li>
</ol>



<p>Wichtig ist hier, dass Stetigkeit mit Folgen nur bewiesen ist, wenn dies für <strong>alle </strong>Folgen gilt!</p>
<p>(Deswegen verwendet man dies meistens um Unstetigkeit zu zeigen, dann reicht es eine Folge zu finden für die es nicht gilt).</p>



<h2 class="content_sub_heading">Stetigkeit (mehrdimensional)</h2>
<p>Man nennt eine Funktion $f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ (mit $n$ Variablen) stetig im Punkt $x_0$, wenn</p>
<p>$$\lim_{x\to x_0}{f(x)} = f(x_0)$$ Hier steht $x$ für alle Variablen, also $x_1,x_2,...,x_n$.</p>



<h2 class="content_sub_heading"><strong>Unstetigkeit zeigen (mehrdimensional)</strong></h2>
<ol>
<li>Finde eine Folge $x_n$, die für $n\to \infty$ nach $x_0$ konvergiert und eine Folge $y_n$, die für $n\to\infty$ nach $y_0$ konvergiert (wenn $(x_0, y_0)$ dein kritischer Punkt ist). <br /><br /></li>
<li>Setze $x_n$ und $y_n$ in die Funktion ein (für Definitionsbereich $(x,y) \neq (x_0,y_0)$) und berechne <br />$$\lim_{n\to\infty} f(x_n,y_n)$$<br /><br /></li>
<li>Falls dieser Grenzwert ($\lim_{n\to\infty} f(x,y)$) dem Funktionswert an der Stelle $(x_0,y_0)$ <strong>nicht </strong>entspricht, ist die Funktion an dieser Stelle unstetig!</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: