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Aufgabenstellung:

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Finde einen geeigneten Ansatz

Mit dem Ansatz und ergibt sich die charakteristische Gleichung:

Bestimme die Lösungen der charakteristischen Gleichung:

Diese Gleichung hat nur Lösungen in den komplexen Zahlen:

Setze wieder in das charakteristische Polynom ein:

Also sind die Nullstellen des Polynoms:

Mit Vielfachheit .

Die homogene Lösung einer linearen DGL höherer Ordnung (), besteht aus -Summanden. Bei komplexen Nullstellen besteht jeder Summand der Lösung aus der Formel (Summe) pro Nullstelle:

Wobei die Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle bezeichnet.

Für die komplex konjugierte Nullstelle müssen keine weiteren Summanden hinzugefügt werden!

Daraus folgt für die allgemeine Lösung der DGL:

Lösung:

Die allgemeine Lösung der DGL lautet:

mit