Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
Finde einen geeigneten Ansatz
Mit dem Ansatz
Bestimme die Lösungen der charakteristischen Gleichung:
Diese Gleichung hat nur Lösungen in den komplexen Zahlen:
Setze wieder in das charakteristische Polynom ein:
Also sind die Nullstellen des Polynoms:
Die homogene Lösung einer linearen DGL höherer Ordnung (
Wobei
Für die komplex konjugierte Nullstelle
Daraus folgt für die allgemeine Lösung der DGL:
Die allgemeine Lösung der DGL lautet:
mit
Definition
Eine lineare DGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form:
wobei
Wenn
Definition
Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.
Vorgehen
Separierbare DGL 1. Ordnung
Form:
Lösung mithilfe Trennung der Variablen:
Durch Substitution lösbare DGL
Form:
Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:
Substituiere:
Dann ist
Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus
1. der allgemeinen Lösung
2. der partikulären Lösung
Homogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Die allgemeine Lösung lautet:
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Lösung durch Variation der Konstanten:
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Form:
Allgemeine Lösung der homogenen DGL:
Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL:
Die allgemeine Lösung ist dann:
Vorgehen
Triviale Differentialgleichung
Getrennte Variablen
Linear 1. Ordnung
Euler-homogen
Lineare Transformation
Gebrochen rationale Transformation
Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Bernoulli
Ricatti
Vorgehen
Für das Bestimmen der allgemeinen Lösung der DGL kannst du wie im Folgenden vorgehen:
Formel
gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen
Beispiel:
partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen
Beispiel:
Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung
Beispiel:
lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen
Beispiel:
nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet
Beispiel:
homogene DGL: es gibt keinen Term ohne
Beispiel:
inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne
Beispiel:
explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).