Lineare DGL höherer Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

Eine lineare DGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form:  ,
wobei , und eine beliebige Funktion ist.

Wenn , ist die Gleichung homogen, ansonsten inhomogen.

Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.

Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht

Separierbare DGL 1. Ordnung

Form:

Lösung mithilfe Trennung der Variablen:

Durch Substitution lösbare DGL
Form: mit
Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:

Substituiere: , somit ist
Dann ist
Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von . Die Rücksubstitution liefert dir dann

Lineare DGLs

Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus 
1. der allgemeinen Lösung  der zugehörigen homogenen DGL
2. der partikulären Lösung der inhomogenen DGL zusammen: 

Homogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Die allgemeine Lösung lautet:

, wobei und .

Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Lösung durch Variation der Konstanten:

, wobei und

Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Form: , wobei
Allgemeine Lösung der homogenen DGL:

Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: 

1. Wenn von der Form:
   Ansatz:
   
   
2. Wenn von der Form: und
   Ansatz:
   
   
3. Wenn von der Form: und
   Ansatz:
   
   
4. Wenn von der Form:
   Ansatz:

Die allgemeine Lösung ist dann:

Typen von DGLs

Triviale Differentialgleichung

Getrennte Variablen

Linear 1. Ordnung

Euler-homogen

Lineare Transformation

Gebrochen rationale Transformation

Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Bernoulli

Ricatti

Lineare homogene DGL höherer Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

Für das Bestimmen der allgemeinen Lösung der DGL kannst du wie im Folgenden vorgehen:

1. Stelle zunächst die entsprechende lineare, homogene DGL auf:
   
   
   
2. Setze nun in die homogene DGL ein. Dieser Ansatz nennt sich Euler-Ansatz. Nach etwas Umformen erhältst du dann: 
   
   Die linke Seite der Gleichung heißt charakteristisches Polynom der DGL.
   
   
3. ist jetzt Lösung der homogenen DGL, falls Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Deswegen musst du jetzt alle Nullstellen des Polynoms bestimmen. steht für die Vielfachheit der Nullstelle .
   
   
4. Die homogene Lösung einer linearen DGL -ter Ordnung besteht aus Summanden. Diese kannst du durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen.
   • Wenn diese Nullstellen reell sind, summierst du die Terme aller Eigenwerte wobei jeder Eigenwert mit Vielfachheit folgende Summe beisteuert:
     
   • Bei einer komplexen Nullstelle ist es die Summe
     
     Wichtig: Für die komplex konjugierte Nullstelle musst du keine weiteren Summanden hinzufügen.

Kategorien von DGLs

gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen

Beispiel:

partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen

Beispiel:

Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung

Beispiel: (diese DGL ist 2. Ordnung).

lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen

Beispiel:

nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet

Beispiel:

homogene DGL: es gibt keinen Term ohne (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)

Beispiel:

inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne )

Beispiel:

explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).