Orthogonaltrajektorien

test

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Triviale DGL

Triviale Differentialgleichungen

Trennung der Variablen (Separation)

Trennung der Variablen

Anfangswertproblem

Variation der Konstanten (inhomogen)

Variation der Konstanten

DGL Systeme

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

Höhere Ordnungen

Lineare homogene DGL höherer Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

\begin{align*}\left\{e^{4 t}, t \cdot e^{4 t}\right\}\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\left\{e^{4 t}, t \cdot e^{4 t}\right\}\end{align*}" style="vertical-align: -0.838ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.185ex" height="2.808ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -870.6 4943.7 1241.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12316-TEX-SO-7B" d="M477 -343L471 -349H458Q432 -349 367 -325T273 -263Q258 -245 250 -212L249 -51Q249 -27 249 12Q248 118 244 128Q243 129 243 130Q220 189 121 228Q109 232 107 235T105 250Q105 256 105 257T105 261T107 265T111 268T118 272T128 276T142 283T162 291Q224 324 243 371Q243 372 244 373Q248 384 249 469Q249 475 249 489Q249 528 249 552L250 714Q253 728 256 736T271 761T299 789T347 816T422 843Q440 849 441 849H443Q445 849 447 849T452 850T457 850H471L477 844V830Q477 820 476 817T470 811T459 807T437 801T404 785Q353 760 338 724Q333 710 333 550Q333 526 333 492T334 447Q334 393 327 368T295 318Q257 280 181 255L169 251L184 245Q318 198 332 112Q333 106 333 -49Q333 -209 338 -223Q351 -255 391 -277T469 -309Q477 -311 477 -329V-343Z"></path><path id="MJX-12316-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path><path id="MJX-12316-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-12316-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-12316-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-12316-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-12316-TEX-SO-7D" d="M110 849L115 850Q120 850 125 850Q151 850 215 826T309 764Q324 747 332 714L333 552Q333 528 333 489Q334 383 338 373Q339 372 339 371Q353 336 391 310T469 271Q477 268 477 251Q477 241 476 237T472 232T456 225T428 214Q357 179 339 130Q339 129 338 128Q334 117 333 32Q333 26 333 12Q333 -27 333 -51L332 -212Q328 -228 323 -240T302 -271T255 -307T175 -338Q139 -349 125 -349T108 -346T105 -329Q105 -314 107 -312T130 -304Q233 -271 248 -209Q249 -203 249 -49V57Q249 106 253 125T273 167Q307 213 398 245L413 251L401 255Q265 300 250 389Q249 395 249 550Q249 710 244 724Q224 774 112 811Q105 813 105 830Q105 845 110 849Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -21.1)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-SO-7B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(583, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-I-1D461"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1707.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2152.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2735.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3235.9, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-I-1D461"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4360.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12316-TEX-SO-7D"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

<div class="step">
<div>
Finde einen geeigneten Ansatz

Mit dem Ansatz $y(t)=e^{\lambda t}$ ergibt sich die characteristische Gleichung:

Mit dem Ansatz <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(t)=e^{\lambda t}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.38ex" height="2.497ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -853.7 4146.1 1103.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12313-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-12313-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-12313-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-12313-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-12313-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-12313-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path><path id="MJX-12313-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12313-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490, 0)"><use xlink:href="#MJX-12313-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879, 0)"><use xlink:href="#MJX-12313-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1240, 0)"><use xlink:href="#MJX-12313-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1906.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12313-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2962.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12313-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12313-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(583, 0)"><use xlink:href="#MJX-12313-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt sich die characteristische Gleichung:

\begin{aligned} \lambda^{2} \cdot e^{\lambda t}-8 \lambda \cdot e^{\lambda t}+16 \cdot e^{\lambda t} &amp;=0 \\ \lambda^{2}-8 \lambda+16 &amp;=0 \\ \lambda_{1,2} &amp;=4 \pm \sqrt{16-16}=4 \end{aligned}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{aligned}
\lambda^{2} \cdot e^{\lambda t}-8 \lambda \cdot e^{\lambda t}+16 \cdot e^{\lambda t} &=0 \\
\lambda^{2}-8 \lambda+16 &=0 \\
\lambda_{1,2} &=4 \pm \sqrt{16-16}=4
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</div>
</div>
<div class="mathComponent">
<div class="step">
<div>Offensichtlich gilt: $\lambda_{1}=\lambda_{2}$. Somit kannst du das Fundamentalsystem direkt angeben:</div>
</div>
</div>

</div>
</div>
<div class="mathComponent">
<div class="step">
<div>Offensichtlich gilt: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_{1}=\lambda_{2}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.481ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 3306.7 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12315-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-12315-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-12315-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-12315-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12315-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(583, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12315-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1264.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-12315-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2320.1, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12315-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(583, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12315-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>. Somit kannst du das Fundamentalsystem direkt angeben:</div>
</div>
</div>

Gegeben sei die folgende Differentialgleichung 2-ter Ordnung: \[ y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=0 \]
Bestimme die Lösungsgesamtheit (Fundamentalsystem) dieser Differentialgleichung.

Gegeben sei die folgende Differentialgleichung 2-ter Ordnung: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=0
" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.945ex" height="2.294ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -809 7931.8 1014" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12312-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path 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Bestimme die Lösungsgesamtheit (Fundamentalsystem) dieser Differentialgleichung.

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Höhere Ordnungen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Lineare DGL - Höhere Ordnungen | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_heading">Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht</h2>
Separierbare DGL 1. Ordnung 
Form: $y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$
Lösung mithilfe Trennung der Variablen:
$$\int \frac{1}{g(y)} d y=\int f(x) d x$$
 
Durch Substitution lösbare DGL Form: $\mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{f}(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c})$ mit $b \neq 0$ Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:
Substituiere: $u=a x+b y+c$, somit ist $y^{\prime}=f(u)$ Dann ist $u^{\prime}=\frac{d u}{d x}=a+b \frac{d y}{d x}=1 \cdot(a+b \cdot f(u))$ Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von $u(x)$. Die Rücksubstitution liefert dir dann $y(x)$
 
<h2 class="content_heading">Lineare DGLs</h2>
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus  1. der allgemeinen Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})$ der zugehörigen homogenen DGL 2. der partikulären Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$ der inhomogenen DGL zusammen:  $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$
 
Homogene lineare DGL 1. Ordnung Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=0$ Die allgemeine Lösung lautet:
$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{F}(\mathrm{x})}$, wobei $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$ und $\mathrm{C} \in \mathrm{R}$.
 
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{a}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x})$ Lösung durch Variation der Konstanten:
$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{c}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{A}(\mathrm{x})}$, wobei $c(x)=\int b(x) \cdot e^{+A(x)} d x$ und $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\int \mathrm{a}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$
 
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Form: $y^{\prime}+a_{0} y=g(x)$, wobei $a_{0}=konstant$ Allgemeine Lösung der homogenen DGL:
$\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{a}_{0} \mathrm{x}}$
 
Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: 
<ol>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots+b_{n} x^{n}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{o}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{n} x^{n}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha \neq-\mathrm{a}_{\mathrm{o}}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot e^{\alpha x}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha=-a_{0}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot x \cdot e^{\alpha x}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{1} \cdot \sin (\beta x)+b_{2} \cdot \cos (\beta x)$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{1} \cdot \sin (\beta x)+c_{2} \cdot \cos (\beta x)$</li>
</ol>
Die allgemeine Lösung ist dann: $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$

<h2 class="content_sub_heading">Typen von DGLs</h2>
Triviale Differentialgleichung $$y^{(n)}=f(x)$$ Getrennte Variablen $$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$$ Linear 1. Ordnung $$y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x)$$ Euler-homogen $$y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$ Lineare Transformation $$y^{\prime}=f(a x+b y+c)$$ Gebrochen rationale Transformation $$y^{\prime}=f\left(\frac{a x+b y+c}{d x+e y+f}\right)$$ Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten $$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_{1} y^{\prime}+a_{0} y=b(x)$$ Bernoulli $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$ Ricatti $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)$$

<h2 class="content_sub_heading">Lineare homogene DGL höherer Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)</h2>
Für das Bestimmen der allgemeinen Lösung der DGL kannst du wie im Folgenden vorgehen:
<ol>
<li>Stelle zunächst die entsprechende lineare, homogene DGL auf: $y_{h}^{(n)}+a_{n-1} \cdot y_{h}^{(n-1)}+\ldots+a_{1} \cdot y_{h}^{\prime}+a_{0} \cdot y_{h}=0$ </li>
<li>Setze nun $y_{h}(x)=e^{\lambda \cdot x}$ in die homogene DGL ein. Dieser Ansatz nennt sich Euler-Ansatz. Nach etwas Umformen erhältst du dann:  $\lambda^{n}+a_{n-1} \cdot \lambda^{n-1}+\ldots+a_{1} \cdot \lambda+a_{0}=0$ Die linke Seite der Gleichung heißt charakteristisches Polynom $P(\lambda)$ der DGL. </li>
<li>$e^{\lambda \cdot x}$ ist jetzt Lösung der homogenen DGL, falls $\lambda$ Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Deswegen musst du jetzt alle Nullstellen $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r}$ des Polynoms bestimmen. $v_{k}$ steht für die Vielfachheit der Nullstelle $\lambda_{k}$. </li>
<li>Die homogene Lösung $y_{h}$ einer linearen DGL $n$ -ter Ordnung besteht aus $n$ Summanden. Diese kannst du durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen.
<ul>
<li>Wenn diese Nullstellen reell sind, summierst du die Terme aller Eigenwerte $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r},$ wobei jeder Eigenwert $\lambda_{k}$ mit Vielfachheit $v_{k}$ folgende Summe beisteuert: $$\sum_{n=0}^{v_{k}-1} c_{k, n} x^{n} e^{\lambda_{k} \cdot x}$$</li>
<li>Bei einer komplexen Nullstelle $\lambda_{k}=s+t i$ ist es die Summe $$\sum_{n=0}^{v_{k}-1} c_{k, n} x^{n} e^{s \cdot x} \sin (t x)+d_{k, n} x^{n} e^{s x} \cos (t x)$$ Wichtig: Für die komplex konjugierte Nullstelle $\overline{\lambda_{k}}=s- ti$ musst du keine weiteren Summanden hinzufügen.</li>
</ul>
</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Lineare DGL höherer Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)</h2>
Eine lineare DGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form:  $y^{(n)}+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}+\ldots+a_{1} \cdot y^{\prime}+a_{0} \cdot y=b(x)$, wobei $n \in \mathbb{N}$, $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{R}$ und $b(x)$ eine beliebige Funktion ist.
Wenn $b=0$, ist die Gleichung homogen, ansonsten inhomogen.

<h2 class="content_sub_heading">Kategorien von DGLs</h2>
gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen
Beispiel: $y(x) = 4y^{\prime}(x) + y^{\prime \prime}(x)$
 
partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen
Beispiel: $y(x,t) = 4 \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} + 3 \frac{\partial{y}}{\partial{x}}$
 
Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung
Beispiel: $y = 4y^{\prime} + y^{\prime \prime}$ (diese DGL ist 2. Ordnung).
 
lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen
Beispiel: $y = 4x^2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime}$
 
nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet
Beispiel: $y^{\prime} = sin(y)$
 
homogene DGL: es gibt keinen Term ohne $y$ (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)
Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 0$
 
inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne $y$)
Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 2x^2$
 
explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).

<h2 class="content_sub_heading">Differentialgleichung</h2>
Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: