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Aufgabenstellung:

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Lösungsweg:

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Dies ist eine inhomogene DGL dritter Ordnung.

Die allgemeine Lösung ist somit die Summe aus homogener und spezieller Lösung: .

Bestimme die homogene Lösung:

Benutze den Euler-Ansatz und bestimme das charakteristische Polynom:

Bestimme die Lösungen der charakteristischen Gleichung:

Daraus ergibt sich die homogene Lösung:

Bestimme die spezielle Lösung

Welcher Ansatz kann gewählt werden?

Der Ansatz funktioniert nicht, weil die rechte Seite der Form ist: mit . Somit ist hier Resonanz vorhanden, da ein Teil der rechten Seite in der homogenen Lösung vorkommt.

Multipliziere an den Ansatz

Bestimme alle Ableitungen:

Setze in die DGL ein:

Koeffizientenvergleich:

Die Lösung des Gleichungssystems ist:

und und und .

Daraus ergibt sich für die spezielle Lösung:

Somit ist die allgemeine Lösung der DGL:

Lösung: