Satz von Green

Satz von Stokes

Satz von Gauß

Mehrfachintegrale berechnen

Gebietsintegrale

Kurvenintegrale

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

\begin{align*}
\underset{K}{\iint} \frac{y}{x} d x d y &amp;=\frac{1}{4} \cdot (1-\ln2)
\end{align*}

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\underset{K}{\iint} \frac{y}{x} d x d y &=\frac{1}{4} \cdot (1-\ln2)
\end{align*}" style="vertical-align: -2.796ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.583ex" height="6.724ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1736 11749.8 2972" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11087-TEX-LO-222C" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798ZM642 -798Q660 -824 693 -824H695Q723 -824 751 -764T803 -600T848 -391T890 -164Q893 -143 895 -133Q967 292 1051 655T1173 1127Q1179 1145 1183 1157T1200 1201T1227 1257T1261 1306T1305 1346T1356 1360Q1412 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13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-11087-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-11087-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 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Schreibe die Koordinatentransformation auf:

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Berechne die Integrationsgrenzen, die sich aus den in $K$ gegeben Bedingungen ergeben:

Berechne die Integrationsgrenzen, die sich aus den in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="K" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.011ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 889 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11082-TEX-I-1D43E" d="M285 628Q285 635 228 637Q205 637 198 638T191 647Q191 649 193 661Q199 681 203 682Q205 683 214 683H219Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q500 682 500 674Q500 669 497 660Q496 658 496 654T495 648T493 644T490 641T486 639T479 638T470 637T456 637Q416 636 405 634T387 623L306 305Q307 305 490 449T678 597Q692 611 692 620Q692 635 667 637Q651 637 651 648Q651 650 654 662T659 677Q662 682 676 682Q680 682 711 681T791 680Q814 680 839 681T869 682Q889 682 889 672Q889 650 881 642Q878 637 862 637Q787 632 726 586Q710 576 656 534T556 455L509 418L518 396Q527 374 546 329T581 244Q656 67 661 61Q663 59 666 57Q680 47 717 46H738Q744 38 744 37T741 19Q737 6 731 0H720Q680 3 625 3Q503 3 488 0H478Q472 6 472 9T474 27Q478 40 480 43T491 46H494Q544 46 544 71Q544 75 517 141T485 216L427 354L359 301L291 248L268 155Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 37 340 35Q340 19 333 5Q328 0 317 0Q314 0 280 1T180 2Q118 2 85 2T49 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11082-TEX-I-1D43E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gegeben Bedingungen ergeben:

\begin{align*}\begin{array}{ll} r^{2} \cos ^{2} \varphi+r^{2} \sin ^{2} \varphi=1 &amp; \Rightarrow r \leq 1 \\ r \cos \varphi \geq r \sin \varphi &amp; \Rightarrow \varphi \leq \frac{\pi}{4} \\ r \sin \varphi+r \cos \varphi \geq 1 &amp; \Rightarrow r \geq \frac{1}{\sin \varphi+\cos \varphi} \end{array}\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\begin{array}{ll}
r^{2} \cos ^{2} \varphi+r^{2} \sin ^{2} \varphi=1 & \Rightarrow r \leq 1 \\
r \cos \varphi \geq r \sin \varphi & \Rightarrow \varphi \leq \frac{\pi}{4} \\
r \sin \varphi+r \cos \varphi \geq 1 & \Rightarrow r \geq \frac{1}{\sin \varphi+\cos \varphi}
\end{array}\end{align*}" style="vertical-align: -4.385ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="41.042ex" height="9.901ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2438 18140.4 4376.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11083-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-11083-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 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\begin{align*} \underset{K}{\iint} \frac{y}{x} d x d y &amp;=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int \limits_{\frac{1}{\sin \varphi+\cos \varphi}}^1 \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} \cdot r \ d r \ d \varphi \\ &amp;=\frac{1}{2} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}-\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} \cdot \frac{1}{(\sin \varphi+\cos \varphi)^{2}} d \varphi \\ &amp;=-\left.\frac{1}{2} \ln |\cos \varphi|\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}-\frac{1}{2} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan \varphi}{\cos ^{2} \varphi(1+\tan \varphi)^{2}} d \varphi
\end{align*}

\begin{align*}
y &amp;=\tan \varphi \\
d \varphi &amp;=\cos ^{2} \varphi \cdot d y
\end{align*}

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y &=\tan \varphi \\
d \varphi &=\cos ^{2} \varphi \cdot d y
\end{align*}" style="vertical-align: -2.188ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.39ex" height="5.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1467 6802.2 2433.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11085-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 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\begin{align*}
\underset{K}{\iint} \frac{y}{x} d x d y&amp;= -\frac{1}{2} \ln \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{y-1}{y^{2}} d y \\
&amp;=\frac{1}{4} \ln 2-\left.\frac{1}{2} \ln |y|\right|_{1} ^{2}-\left.\frac{1}{2 y}\right|_{1} ^{2} \\
&amp;=\frac{1}{4} \ln 2-\frac{1}{2} \ln 2-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} \\
&amp;=\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \ln 2 \\
&amp;=\frac{1}{4} \cdot (1-\ln2)
\end{align*}

Bestimme das folgende Integral über eine Transformation in Polarkoordinaten. Dabei ist $K$ ein gegebener Körper mit den Eigenschaften: $K=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x+y \geq 1, y \leq x\right\}$
 
\begin{align*}\quad \underset{K}{\iint} \frac{y}{x} \ d x \ d y\end{align*}

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gebietsintegrale mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale - Gebietsintegrale | Aufgabe mit 

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: