Satz von Green

Satz von Stokes

Satz von Gauß

Mehrfachintegrale berechnen

Gebietsintegrale

Kurvenintegrale

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Das Volumen des zu berechnenden Ellipsoiden ergibt sich zu:$$V= \frac{4}{3} \pi a b c$$

Das Volumen des zu berechnenden Ellipsoiden ergibt sich zu:<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="V= \frac{4}{3} \pi a b c" style="vertical-align: -1.602ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.32ex" height="4.663ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1353 5003.6 2061" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11098-TEX-I-1D449" d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z"></path><path id="MJX-11098-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11098-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-11098-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 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5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-11098-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-11098-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 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Das zu lösende Integral lautet: $\underset{E}{\iiint}dx\ dy\ dz$

Das zu lösende Integral lautet: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\underset{E}{\iiint}dx\ dy\ dz" style="vertical-align: -2.383ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.443ex" height="4.206ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -805.5 5057.7 1858.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11091-TEX-SO-222D" d="M113 -244Q113 -246 119 -251T139 -263T167 -269Q186 -269 199 -260Q220 -247 232 -218T251 -133T262 -15T276 155T297 367Q300 390 305 438T314 512T325 580T340 647T361 703T390 751T428 784T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q475 768 460 756T434 716T418 652T407 559T398 444T387 300T369 133Q349 -38 337 -102T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 -146Q123 -146 138 -159T153 -195Q153 -206 149 -215T139 -230T127 -238T117 -242L113 -244ZM460 -244Q460 -246 466 -251T486 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Es bietet sich an zum lösen Kugelkoordinaten (mit Verzerrung) zu nutzen:

Sei $\Phi: U \longrightarrow \mathbb{R}^{3}$ mit
\begin{align*}\Phi:\left(\begin{array}{c} r \\ \varphi \\ \theta \end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{c} a r \cos \varphi \cos \theta \\ b r \sin \varphi \cos \theta \\ c r \sin \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \Phi_{1}(r, \varphi, z) \\ \Phi_{2}(r, \varphi, z) \\ \Phi_{3}(r, \varphi, z) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)\end{align*}

Bilde die Funktionaldeterminante (oder lies sie aus der Formelsammlung ab):

\begin{align*}\frac{\partial\left(\Phi_{1}, \Phi_{2}, \Phi_{3}\right)}{\partial(r, \varphi, \theta)}:%=\operatorname{det}(D \Phi(r, \varphi, \theta)) \\
&amp;=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial r} &amp; \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \varphi} &amp; \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \theta} \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial r} &amp; \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \varphi} &amp; \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \theta} \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial r} &amp; \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \varphi} &amp; \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \theta} \\
\end{array}\right) \\ \\
&amp;=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} a \cos \varphi \cos \theta &amp; -ar \sin \varphi \cos \theta &amp; -a r \cos \varphi \sin \theta \\ b \sin \varphi \cos \theta &amp; b r \cos \varphi \cos \theta &amp; -b r \sin \varphi \sin \theta \\ c \sin \theta &amp; 0 &amp; cr \cos \theta \end{array}\right)\\ \\
&amp;=a b c r^{2} \cos \theta \neq 0
\end{align*}

Schreibe die neuen Integralgrenzen für die Berechnung mittels Kufgelkoordinaten auf:

\begin{align*}U=\left\{(r, \varphi, \theta) \mid 1 \geq r&gt;0,0 \leq \varphi&lt;2 \pi,-\frac{\pi}{2}&lt;\theta&lt;\frac{\pi}{2}\right\}\end{align*}

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transform="translate(1507, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1951.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2605.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3050.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-I-1D703"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3519.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4186.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-2223"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4741.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5519.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6575.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7304.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(8360, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8860, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(9304.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10082.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(11138.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12070, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(13125.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(13625.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14195.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14640.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(15418.4, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(255, -686)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-32"></use></g><rect width="770" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(16706.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(17762, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-I-1D703"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(18508.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(19564.6, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(255, -686)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-N-32"></use></g><rect width="770" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(20574.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11095-TEX-LO-7D"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Drücke nun das Volumen von $E$ als Integral mit den Kugelkoordinaten und den passenden Grenzen aus (Transformationssatz) und berechne es:

Drücke nun das Volumen von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="E" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.729ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 764 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11096-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11096-TEX-I-1D438"></use></g></g></g></svg></mjx-container> als Integral mit den Kugelkoordinaten und den passenden Grenzen aus (Transformationssatz) und berechne es:

\begin{align*}
V&amp;=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} a b c r^{2}|\cos \theta| d \theta d \varphi d r \\
&amp;=2 a b c \cdot 2 \pi \cdot \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi / 2} \cos \theta d \theta \\
&amp;=\frac{4}{3} \pi a b c\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
V&=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} a b c r^{2}|\cos \theta| d \theta d \varphi d r \\
&=2 a b c \cdot 2 \pi \cdot \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi / 2} \cos \theta d \theta \\
&=\frac{4}{3} \pi a b c\end{align*}" style="vertical-align: -8.352ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="36.61ex" height="17.834ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -4191.4 16181.7 7882.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11097-TEX-I-1D449" d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z"></path><path id="MJX-11097-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11097-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-11097-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-11097-TEX-N-30" d="M96 585Q152 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Berechne das Volumen des folgenden Ellipsoiden $E$: \begin{align*}\quad E&amp;=\left\{(x, y, z)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \mid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\right\}\end{align*} mit $a,b,c &gt; 0$

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gebietsintegrale mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale - Gebietsintegrale | Aufgabe mit 

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: