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Aufgabenstellung:

Bestimme das Volumen und den Schwerpunkt des Körpers in -Richtung. Dabei ist die Dichte des Körpers konstant und es gilt:

 

 

Hinweis: Nutze für den Schwerpunkt

Lösungsweg:

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Volumenberechnung: 

Bestimmme die Integrationsgrenzen für das zu lösende Dreifachintegral:

Starte z.B. damit die Grenzen für aus den in gegebene Bedinungen abzuleiten. Aus der Umformung der Ungleichung und folgt:

Nutze nun für , dass    aus gilt und  :

Schließlich folgt für mit    aus und :

Schreibe das zur Volumenbestimmung benötigte Integral (inklusive Grenzen) auf und löse es:

Schwerpunkt in -Richtung:

Löse das Integral

Lösung:

Das Volumen des Körpers beträgt und der Schwerpunkt in -Richung leigt bei