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Aufgabenstellung:

Ein Netzwerk wird mit Hilfe des Knotenpotenzialverfahrens mit folgendem Gleichungssystem be- schrieben

 

 

a)  Wie viele Knoten enthält die Schaltung?

b)  Wie viele innenwiderstandsfreie Spannungsquellen enthält die Schaltung und welche sind dies?

c)  Erstellen Sie aus dem gegebenen Gleichungssystem ein Ersatzschaltbild der Schaltung.

d)  Ist das Gleichungssystem eindeutig?

Lösungsweg:

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a) Bestimmen der Knoten

Der Vektor der unbekannten Größen enthält die vier Spannungen und sowie einenBezugsknoten. Die Schaltung enthält somit vier Knoten und einen Bezugsknoten.

b) Bestimmen der innenwiderstandsfreien Spannungsquellen

Bei der Spannungsquelle handelt es sich um eine innenwiderstandsfreie Quelle.

c) Erstellen der Ersatzschaltbildes

Um ein Grundgerüst der Schaltung zu erhalten, wird zunächst die einfache Knotenleitwertsmatrix betrachtet. Die Matrixelemente außerhalb der Hauptdiagonalen beschreiben die Verbindungen zwischen den Knoten. Der Widerstand befindet sich zwischen den Knoten und der Widerstand zwischen (B) und (C) und der Widerstand zwischen (C) und (D). Die Schaltung wird mit den entsprechend Widerständen in der Hauptdiagonalen ergänzt und ergibt sich damit zu

Abbildung

Im Vektor der bekannten Quellen sind die reale Spannungsquelle die ideale Spannungsquelle sowie die ideale Stromquelle   enthalten. Der Strom der realen Spannungsquelle fließt aufgrund des negativen Vorzeichens aus dem Knoten (A) heraus und in den Knoten (B) hinein. Der Strom fließt hingegen aus dem Knoten (B) heraus und in den Knoten (D) hinein. Der fünften Zeile des Gleichungssystems kann entnommen werden, dass die ideale Spannungsquelle zwischen den Knoten (A) und (D) liegt.

Abbildung

Das Schaltbild kann noch umgeformt werden, sodass sich eine kompaktere Darstellung ergibt.

Abbildung

d) Prüfen auf Eindeutigkeit

Die Lösung ist nicht eindeutig, da zu den Spannungsquellen parallel geschaltete Widerstände beziehungsweise zu den Stromquellen in Reihe geschaltete Widerstände nicht berücksichtigt werden.

Lösung:

a) Der Vektor der unbekannten Größen enthält die vier Spannungen und sowie einen
Bezugsknoten. Die Schaltung enthält somit vier Knoten und einen Bezugsknoten.
b) Bei der Spannungsquelle handelt es sich um eine innenwiderstandsfreie Quelle.

c)Abbildung

d) Die Lösung ist nicht eindeutig, da zu den Spannungsquellen parallel geschaltete Widerstände beziehungsweise zu den Stromquellen in Reihe geschaltete Widerstände nicht berücksichtigt werden.