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Aufgabenstellung:

Der abgebildete Stab ist am linken Ende fest eingespannt und wird am rechten Ende durch die Druckkraft belastet. Er hat einen Rechteckquerschnitt, dessen Höhe von an der Einspannung linear auf am rechten Ende abnimmt.

  1. Ermitteln Sie die Dehnung und stellen Sie den Verlauf der Dehnung graphisch dar.
  2. Wie groß ist die Längenänderung

 

Gegeben:

Elastizitätsmodul

Abbildung

 

 

Lösungsweg:

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a) Dehnungsverlauf

Kräftegleichgewicht an einem beliebigen Schnitt:

Funktion für den Querschnitt aufstellen:

mit über Geradengleichung:

Ausdruck für Normalspannung bestimmen

mit .

Dehnung mithilfe der Spannung bestimmen:

mit

Zahlenwerte einsetzen:

Graphische Darstellung:

Abbildung

b) Längenänderung

Bei veränderlicher Dehnung berechnet sich die Längenänderung durch Integration der Dehnung. Stelle also das passende Integral auf und integriere anschließend:

Zahlenwerte einsetzen:

Lösung:

  1. Siehe Musterlösung