Flächenpressung

KRAFT

Torsion

Schub

Biegung

Zug und Druck

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\(\sigma(x)=\rho g L\left(1-\frac{x}{L}\right)+\frac{m g}{A}\)</li>
<li>\(\Delta L=0,02405 \mathrm{~mm}\)</li>
</ol>

<p><strong>a) Verlauf der Spannung</strong></p>


<p>\begin{align}</p>
<p>A \frac{d \sigma}{d x}&amp;=-\rho g A \\\\</p>
<p>\Rightarrow \frac{d \sigma}{d x}&amp;=-\rho g</p>
<p>\end{align}</p>


<p>Bestimme die Integrationskonstante durch Nutzung einer Randbedingung.</p>


<p><img style="width: 14%; height: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/602f47cd2fe7b3a4e586b431.png" alt="Abbildung" height="128" /></p>
<p>\[ \sigma(L) A=m g \]</p>


<p>Daraus folgt für die Integrationskonstante:</p>


<p>\begin{align}<br />(-\rho g L+c) A&amp;=m g \\\\</p>
<p>\Rightarrow c&amp;=\frac{m g}{A}+\rho g L<br />\end{align}</p>


<p>Damit gilt für den Verlauf der Spannung:</p>


<p>\[<br />\sigma(x)=\rho g(L-x)+\frac{m g}{A}=\rho g L\left(1-\frac{x}{L}\right)+\frac{m g}{A}<br />\]</p>


<p><strong>b) Verlängerung des Stabs</strong></p>


<p>Aus der Spannung folgt für die Dehnung:</p>


<p>\[<br />\epsilon(x)=\frac{\sigma(x)}{E}=\frac{\rho g L}{E}\left(1-\frac{x}{L}\right)+\frac{m g}{E A}<br />\]</p>


<p>Daraus berechnet sich die Verlängerung mittels Integration zu:</p>


<p>\begin{align}<br />\Delta L &amp;=\int_{0}^{L} \epsilon(x) d x=\frac{\rho g L}{E} \int_{0}^{L}\left(1-\frac{x}{L}\right) d x+\frac{m g L}{E A} \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{\rho g L}{E}\left[x-\frac{x^{2}}{2 L}\right]_{x=0}^{x=L}+\frac{m g L}{E A} \\ \\</p>
<p>&amp;=\frac{L}{E A}\left(\frac{1}{2} \rho g L A+m g\right)<br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />\frac{1}{2} \rho g L A+m g=\left(\frac{1}{2} \cdot 7850 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} \cdot 5 \mathrm{~m} \cdot 12 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}+100 \mathrm{~kg}\right) \cdot 9,81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}=1212 \mathrm{~N} \\\\<br />\Delta L=\frac{1212 \mathrm{~N} \cdot 5 \mathrm{~m}}{2,1 \cdot 10^{11} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} \cdot 12 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}}=2,405 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}=0,02405 \mathrm{~mm}<br />\end{align}</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Ein Stab mit konstanter Querschnittsfläche \( A \), Elastizitätsmodul \( E \) und Massendichte \( \rho \) ist an seinem oberen Ende fest eingespannt. An seinem unteren Ende befindet sich die Masse \( m \)</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Ermitteln Sie den Verlauf der Spannung \( \sigma(x) \) im Stab.</li>
<li>Wie groß ist die Längenänderung \( \Delta L \) des Stabes?</li>
</ol>
<p><strong>Gegeben:</strong></p>
<p>\( L=5 \mathrm{~m}, A=12 \mathrm{~cm}^{2}, E=210000 \mathrm{MPa} \)</p>
<p>\( \rho=7850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, m=100 \mathrm{~kg} \)</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/602f48212fe7b3a4e586b536.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Zug und Druck mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: