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Aufgabenstellung:

Ein Stab mit konstanter Querschnittsfläche , Elastizitätsmodul und Massendichte ist an seinem oberen Ende fest eingespannt. An seinem unteren Ende befindet sich die Masse

  1. Ermitteln Sie den Verlauf der Spannung im Stab.
  2. Wie groß ist die Längenänderung des Stabes?

Gegeben:

Abbildung

 

Lösungsweg:

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a) Verlauf der Spannung

Für die Streckenlast gilt:

Damit gilt für die Spannung:

Integration ergibt:

Bestimme die Integrationskonstante durch Nutzung einer Randbedingung.

Am unteren Ende gilt:

Abbildung

Daraus folgt für die Integrationskonstante:

Damit gilt für den Verlauf der Spannung:

b) Verlängerung des Stabs

Aus der Spannung folgt für die Dehnung:

Daraus berechnet sich die Verlängerung mittels Integration zu:

Zahlenwert einsetzen:

Lösung: