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by Manfred Strohrmann

(H.ErT.Z-Online)

Aufgabenstellung:

In der angegebenen Schaltung befindet sich neben der Quelle und den Widerständen bis ein Sensor zur Abstandsmessung. Dieser Sensor liefert in Abhängigkeit des Abstands zum Messobjekt verschiedene Spannungswerte und kann näherungsweise als ideale Spannungsquelle beschrieben werden. Der Abgriff der Messung soll am Knoten (X) erfolgen.

Abbildung

  1. Wie groß ist der Innenwiderstand der Schaltung am Knoten ?
  2. Ermitteln Sie die Leerlaufspannung mit Hilfe des Superpositionsprinzips. Geben Sie diese als allgemeinen Ausdruck an und bringen Sie das Ergebnis auf einen Hauptnenner.
  3. Geben Sie den Kurzschlussstrom zwischen dem Knoten und Masse an.
  4. Welche Spannung muss der Sensor liefern, damit die Knotenspannung zu null wird? Berechnen Sie einen allgemeinen Ausdruck.

Hinweis: Der Widerstand der der idealen Spannungsquelle parallel geschaltet ist, beeinflusst die Schaltung für die folgenden Berechnungen nicht und kann somit weggelassen werden.

Lösungsweg:

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a) Innenwiderstand

Zur Bestimmung des Innenwiderstandes werden die Spannungsquellen und kurzgeschlossen.

Der Innenwiderstand wird zwischen dem Punkt (X) und Masse bestimmt zu

b) Leerlaufspannung

  • Zur Berechnung der Leerlaufspannung werden zwei Fälle betrachtet.
  • Im ersten Fall wird die Spannungsquelle kurzgeschlossen.
  • Damit ergibt sich die Schaltung.

Abbildung

Die Teilspannung berechnet sich zu

  • Bei dem zweiten Fall wird die Spannungsquelle zu null gesetzt und durch einen Kurzschluss ersetzt.

Abbildung

  • Die Widerstände und sowie die Spannungsquelle können zu einer Ersatzquelle mit Innenwiderstand zusammengefasst werden.

Abbildung

Die Spannungsteilerregel auf das Schaltbild angewendet führt zu folgendem Ergebnis für die Teilspan-
nung

Durch Überlagerung der beiden Teilergebnisse wird bestimmt

c) Kurzschlussstrom

Allgemein berechnet sich der Kurzschlussstrom aus dem Quotienten von Leerlaufspannung und Innenwiderstand.

Daraus folgt

An dieser Stelle soll auch ein weiterer Weg aufgezeigt werden, wie der Kurzschlussstrom berechnet
werden kann.

  • Der Kurzschlussstrom ist der Strom, vom Knoten (A) nach Masse im Fall eines Kurzschlusses
  • Der Strom setzt sich aus den Teilströmen und zusammen.
  • Da beide Stromkreise sich gegenseitig nicht beeinflussen, kann der Kurzschlussstrom berechnet werden indem die Teilströme und am Knoten (A) berechnet werden.

Abbildung

Die Knotenbilanz lautet

Der Strom lässt sich direkt über das ohmsche Gesetzt berechnen.

Zur Berechnung des Stromes wird eine Ersatzspannungsquelle aus den Widerständen und sowie der Spannungsquelle gebildet.

Einsetzen in die Knotengleichung führt zum Ergebnis

Erwartungsgemäß stimmen die Ergebnisse der unterschiedlichen Methoden überein.

d) Sensorspannung

Aus der Aufgabenstellung heraus gilt

Da die Spannung gesucht ist, wird die Gleichung entsprechend aufgelöst.

Um eine Knotenspannung von 0 V zu erreichen, müsste der Sensor negative Spannungswerte liefern.

Lösung:

  4. Um eine Knotenspannung von 0 V zu erreichen, müsste der Sensor negative Spannungswerte liefern.