Rotation um eine feste Achse

Allgemeine ebene Bewegung

Systeme von starren Körpern

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[x_{S}=10 \mathrm{~mm},\ y_{S}=22,5 \mathrm{~mm}\]</li>
<li>\[J_{x z}^{o}=-0,55 \mathrm{kgm}^{2}, \ J^{0}_{y z}=-0,1125 \mathrm{kgm}^{2}\]</li>
</ol>

<p>Mit dem Schwerpunktsatz $m \boldsymbol{a}_{S}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ folgt Komponentenweise:</p>


<p>Mit dem Schwerpunktsatz <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="m \boldsymbol{a}_{S}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.346ex" height="1.983ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -711 6341.1 876.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3250-TEX-I-1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3250-TEX-BI-1D482" d="M222 -8Q140 -8 89 34T38 158Q38 191 48 227Q72 329 151 390T327 452Q361 452 385 443T421 425T433 416H434L441 421Q448 426 460 430T486 435Q509 435 523 422T538 386Q538 380 522 315T488 179T467 93Q466 87 466 72Q466 42 483 42Q505 42 521 75Q531 94 541 134Q546 155 550 158T571 162H576H587Q607 162 607 148Q606 142 604 132T590 94T566 47T528 9T474 -8Q396 -8 358 40Q295 -8 222 -8ZM404 351Q383 401 324 401Q300 401 270 385T221 330Q206 296 186 220Q166 136 166 106Q166 72 184 58T228 43Q256 43 284 57T328 84T343 103Q343 106 374 228L404 351Z"></path><path id="MJX-3250-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path><path id="MJX-3250-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3250-TEX-BI-1D468" d="M65 0Q45 0 45 18Q48 52 61 60Q65 62 81 62Q155 62 165 74Q166 74 265 228T465 539T569 699Q576 707 583 709T611 711T637 710T649 700Q650 697 695 380L741 63L784 62H827Q839 50 839 45L835 29Q831 9 827 5T806 0Q803 0 790 0T743 1T657 2Q585 2 547 1T504 0Q481 0 481 17Q484 54 497 60Q501 62 541 62Q580 62 580 63Q580 68 573 121T564 179V181H308L271 124Q236 69 236 67T283 62H287Q316 62 316 46Q316 26 307 8Q302 3 295 0L262 1Q242 2 168 2Q119 2 93 1T65 0ZM537 372Q533 402 528 435T521 486T518 504V505Q517 505 433 375L348 244L451 243Q555 243 555 244L537 372Z"></path><path id="MJX-3250-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-3250-TEX-BI-1D469" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 449 686H477H586Q684 686 733 677T817 634Q853 598 853 547Q853 499 826 460T761 401T695 371T654 360H653L662 358Q670 357 683 354T712 344T744 327T774 303T795 269T804 224Q804 148 732 79T533 1Q524 0 288 0H58Q47 5 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L302 623Q302 624 258 624ZM703 550Q703 571 695 586T675 609T656 619T643 623L545 624H447L417 504Q386 384 386 383T470 382Q554 383 565 385Q632 397 667 447T703 550ZM651 240Q651 265 645 282T626 309T608 322T592 329Q587 330 479 331H373L340 198Q307 65 306 64Q306 62 406 62L507 63L519 65Q565 76 596 107T639 171T651 240Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-3250-TEX-I-1D45A"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(878,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D482" xlink:href="#MJX-3250-TEX-BI-1D482"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(666,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-3250-TEX-I-1D446"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2327.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3250-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3383.6,0)"><use data-c="1D468" xlink:href="#MJX-3250-TEX-BI-1D468"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4474.9,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-3250-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5475.1,0)"><use data-c="1D469" xlink:href="#MJX-3250-TEX-BI-1D469"></use></g></g></g></svg></mjx-container> folgt Komponentenweise:</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />m a_{S x}&amp;=A_{x}+B_{x} \\<br />m a_{S y}&amp;=A_{y}+B_{y}<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>Die Beschleunigung des Schwerpunkts ist gleich der Zentripetalbeschleunigung:</p>


<p>\[<br />\boldsymbol{a}_{S}=-\omega^{2} \boldsymbol{r}_{S} \quad \Rightarrow a_{S x}=-\omega^{2} x_{S}, \quad a_{S y}=-\omega^{2} y_{S}<br />\]</p>


<p>Einsetzen in den Schwerpunktsatz ergibt:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />-\omega^{2} m x_{s}=A_{x}+B_{x} &amp; \quad  \Rightarrow x_{S}=-\frac{A_{x}+B_{x}}{\omega^{2} m} \\\\<br />-\omega^{2} m y_{s}=A_{y}+B_{y} &amp; \quad  \Rightarrow y_{S}=-\frac{A_{y}+B_{y}}{\omega^{2} m}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\omega^{2} m=100^{2} \mathrm{~s}^{-2} \cdot 20 \mathrm{~kg}=200 \cdot 10^{3} \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^{2}}<br />\]</p>


<p>\[x_{S}=-\frac{(10-12) \cdot 10^{3} \mathrm{kgm} / \mathrm{s}^{2}}{200 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{s}^{2}}=0,01 \mathrm{~m}\]</p>


<p>\[y_{S}=\frac{4,5 \cdot 10^{3} \mathrm{kgm} / \mathrm{s}^{2}}{200 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{s}^{2}}=0,0225 \mathrm{~m}\]</p>


<p>\[ M_{x}^{O}=-\omega^{2} J_{y z}^{O}\]</p>
<p>\[M_{y}^{O}=\omega^{2} J_{x z}^{O} \]</p>


<p>\[ M_{x}^{O}=a\left(A_{y}-B_{y}\right) \]</p>
<p>\[ M_{y}^{O}=a\left(B_{x}-A_{x}\right) \]</p>


<p>Einsetzen in den Drallsatz ergibt:</p>


<p>\[<br />a\left(A_{y}-B_{y}\right)=-\omega^{2} J_{y z}^{O}\quad  \Rightarrow J_{y z}^{O}=\frac{a}{\omega^{2}}\left(B_{y}-A_{y}\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />a\left(B_{x}-A_{x}\right)=\omega^{2} J_{x z}^{O}\quad  \Rightarrow J_{x z}^{O}=\frac{a}{\omega^{2}}\left(B_{x}-A_{x}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\frac{a}{\omega^{2}}&amp;=\frac{0,25 \mathrm{~m}}{100^{2} \mathrm{~s}^{-2}}=2,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{~ms}^{2} \\\\<br />J_{x z}^{O}&amp;=2,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{~ms}^{2} \cdot(-12-10) \cdot 10^{3} \mathrm{kgm} / \mathrm{s}^{2}=-0,55 \mathrm{kgm}^{2} \\\\<br />J_{y z}^{O}&amp;=2,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{~ms}^{2} \cdot(-4,5) \cdot 10^{3} \mathrm{kgm} / \mathrm{s}^{2}=-0,1125 \mathrm{kgm}^{2}<br />\end{align}<br />\]</p>

<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/60486b3c6409d3137e9bdf08.png" alt="Abbildung" /></p>
<p>Ein Körper der Masse $ m $ dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit $ \omega $ um die raumfeste $ z $ -Achse. Die beiden Lager $ A $ und $ B $ haben jeweils den Abstand $ a $ von der Ebene des Körpers, in der sein Schwerpunkt liegt.<br /><br />Im körperfesten Koordinatensystem $Oxyz$ werden die Lagerkräfte $ A_{x}, A_{y}, B_{x} $ und $ B_{y} $ gemessen. Es handelt sich dabei um die Kräfte, die das Lager auf die Welle ausübt.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie die Koordinaten $ x_{S} $ und $ y_{s} $ des Schwerpunkts im körperfesten Koordinatensystem.</li>
<li>Bestimmen Sie die Deviationsmomente $ J_{x z}^{O} $ und $ J_{y z}^{o} $ bezüglich des Ursprungs $O$ des körperfesten Koordinatensystems.</li>
</ol>
<p><strong>Gegeben:</strong></p>
<p>$ m=20 \mathrm{~kg}, \ \omega=100 \mathrm{~s}^{-1}, \  a=0,25 \mathrm{~m}$</p>
<p>$A_{x}=10 \mathrm{kN}, \ A_{y}=0 \mathrm{kN} $</p>
<p>$ B_{x}=-12 \mathrm{kN}, \ B_{y}=-4,5 \mathrm{kN} $ (positive Kräfte zeigen in Achsrichtung)</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Rotation um eine feste Achse mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: