Rotation um eine feste Achse

Allgemeine ebene Bewegung

Systeme von starren Körpern

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[x_{S}=10 \mathrm{~mm},\ y_{S}=22,5 \mathrm{~mm}\]</li>
<li>\[J_{x z}^{o}=-0,55 \mathrm{kgm}^{2}, \ J^{0}_{y z}=-0,1125 \mathrm{kgm}^{2}\]</li>
</ol>

<p>Mit dem Schwerpunktsatz $m \boldsymbol{a}_{S}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ folgt Komponentenweise:</p>


<p>Mit dem Schwerpunktsatz <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="m \boldsymbol{a}_{S}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.346ex" height="1.983ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -711 6341.1 876.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3250-TEX-I-1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 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383 565 385Q632 397 667 447T703 550ZM651 240Q651 265 645 282T626 309T608 322T592 329Q587 330 479 331H373L340 198Q307 65 306 64Q306 62 406 62L507 63L519 65Q565 76 596 107T639 171T651 240Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-3250-TEX-I-1D45A"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(878,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D482" xlink:href="#MJX-3250-TEX-BI-1D482"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(666,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-3250-TEX-I-1D446"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2327.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3250-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3383.6,0)"><use data-c="1D468" xlink:href="#MJX-3250-TEX-BI-1D468"></use></g><g data-mml-node="mo" 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<p>\[<br />\begin{align}<br />m a_{S x}&amp;=A_{x}+B_{x} \\<br />m a_{S y}&amp;=A_{y}+B_{y}<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>Die Beschleunigung des Schwerpunkts ist gleich der Zentripetalbeschleunigung:</p>


<p>\[<br />\boldsymbol{a}_{S}=-\omega^{2} \boldsymbol{r}_{S} \quad \Rightarrow a_{S x}=-\omega^{2} x_{S}, \quad a_{S y}=-\omega^{2} y_{S}<br />\]</p>


<p>Einsetzen in den Schwerpunktsatz ergibt:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />-\omega^{2} m x_{s}=A_{x}+B_{x} &amp; \quad  \Rightarrow x_{S}=-\frac{A_{x}+B_{x}}{\omega^{2} m} \\\\<br />-\omega^{2} m y_{s}=A_{y}+B_{y} &amp; \quad  \Rightarrow y_{S}=-\frac{A_{y}+B_{y}}{\omega^{2} m}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\omega^{2} m=100^{2} \mathrm{~s}^{-2} \cdot 20 \mathrm{~kg}=200 \cdot 10^{3} \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^{2}}<br />\]</p>


<p>\[x_{S}=-\frac{(10-12) \cdot 10^{3} \mathrm{kgm} / \mathrm{s}^{2}}{200 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{s}^{2}}=0,01 \mathrm{~m}\]</p>


<p>\[y_{S}=\frac{4,5 \cdot 10^{3} \mathrm{kgm} / \mathrm{s}^{2}}{200 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{s}^{2}}=0,0225 \mathrm{~m}\]</p>


<p>\[ M_{x}^{O}=-\omega^{2} J_{y z}^{O}\]</p>
<p>\[M_{y}^{O}=\omega^{2} J_{x z}^{O} \]</p>


<p>\[ M_{x}^{O}=a\left(A_{y}-B_{y}\right) \]</p>
<p>\[ M_{y}^{O}=a\left(B_{x}-A_{x}\right) \]</p>


<p>Einsetzen in den Drallsatz ergibt:</p>


<p>\[<br />a\left(A_{y}-B_{y}\right)=-\omega^{2} J_{y z}^{O}\quad  \Rightarrow J_{y z}^{O}=\frac{a}{\omega^{2}}\left(B_{y}-A_{y}\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />a\left(B_{x}-A_{x}\right)=\omega^{2} J_{x z}^{O}\quad  \Rightarrow J_{x z}^{O}=\frac{a}{\omega^{2}}\left(B_{x}-A_{x}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\frac{a}{\omega^{2}}&amp;=\frac{0,25 \mathrm{~m}}{100^{2} \mathrm{~s}^{-2}}=2,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{~ms}^{2} \\\\<br />J_{x z}^{O}&amp;=2,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{~ms}^{2} \cdot(-12-10) \cdot 10^{3} \mathrm{kgm} / \mathrm{s}^{2}=-0,55 \mathrm{kgm}^{2} \\\\<br />J_{y z}^{O}&amp;=2,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{~ms}^{2} \cdot(-4,5) \cdot 10^{3} \mathrm{kgm} / \mathrm{s}^{2}=-0,1125 \mathrm{kgm}^{2}<br />\end{align}<br />\]</p>

<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/60486b3c6409d3137e9bdf08.png" alt="Abbildung" /></p>
<p>Ein Körper der Masse $ m $ dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit $ \omega $ um die raumfeste $ z $ -Achse. Die beiden Lager $ A $ und $ B $ haben jeweils den Abstand $ a $ von der Ebene des Körpers, in der sein Schwerpunkt liegt.<br /><br />Im körperfesten Koordinatensystem $Oxyz$ werden die Lagerkräfte $ A_{x}, A_{y}, B_{x} $ und $ B_{y} $ gemessen. Es handelt sich dabei um die Kräfte, die das Lager auf die Welle ausübt.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie die Koordinaten $ x_{S} $ und $ y_{s} $ des Schwerpunkts im körperfesten Koordinatensystem.</li>
<li>Bestimmen Sie die Deviationsmomente $ J_{x z}^{O} $ und $ J_{y z}^{o} $ bezüglich des Ursprungs $O$ des körperfesten Koordinatensystems.</li>
</ol>
<p><strong>Gegeben:</strong></p>
<p>$ m=20 \mathrm{~kg}, \ \omega=100 \mathrm{~s}^{-1}, \  a=0,25 \mathrm{~m}$</p>
<p>$A_{x}=10 \mathrm{kN}, \ A_{y}=0 \mathrm{kN} $</p>
<p>$ B_{x}=-12 \mathrm{kN}, \ B_{y}=-4,5 \mathrm{kN} $ (positive Kräfte zeigen in Achsrichtung)</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Rotation um eine feste Achse mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: