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Aufgabenstellung:

Fahrzeug fährt zunächst mit der konstanten Geschwindigkeit , bremst dann mit einer konstanten Verzögerung ab auf die Geschwindigkeit und fährt anschließend mit der konstanten Geschwindigkeit weiter.

Fahrzeug fährt im Abstand hinter Fahrzeug ebenfalls mit der konstanten Geschwindigkeit Der Fahrer bremst eine Zeit später als der Fahrer von Fahrzeug mit einer ebenfalls konstanten Verzögerung .

Wie groß muss die Verzögerung mindestens sein, damit Fahrzeug gerade nicht auffährt?

 

Gegeben:


Lösungsweg:

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Wahl des Koordinatensystems

Die Zeit wird ab dem Zeitpunkt gemessen, zu dem Fahrzeug zu bremsen beginnt.

Als Nullpunkt für die Ortskoordinate wird der Punkt gewählt, an dem sich Fahrzeug befindet, wenn Fahrzeug zu bremsen beginnt.

Abbildung

Skizze des Vorgangs im Ort-Zeit-Diagramm

Zum Zeitpunkt beendet Fahrzeug das Bremsen.

Zum Zeitpunkt trifft Fahrzeug auf Fahrzeug .

Abbildung

Umrechnung der Geschwindigkeiten auf Meter/Sekunde

Fahrzeug A

Während des Bremsens gilt:

Am Ende des Bremsens hat das Fahrzeug die Geschwindigkeit :

Daraus folgt für die Bremszeit:

Aus  folgt für den Ort am Ende des Bremsens:

Zahlenwerte:

Nach dem Bremsen fährt das Fahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit weiter. Dann gilt:

Fahrzeug

Während der Zeit bis der Fahrer zu bremsen beginnt, fährt das Fahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit Während dieser Zeit gilt:

Zum Zeitpunkt des Bremsbeginns befindet sich das Fahrzeug an der Stelle

Wegen befindet sich Fahrzeug zu dieser Zeit an der Stelle

Zahlenwerte:

Wegen ist Fahrzeug während der Reaktionszeit nicht auf Fahrzeug A aufgefahren.

Während des Bremsens von Fahrzeug B gilt:

Auftreffen von Fahrzeug auf Fahrzeug

Fahrzeug fährt gerade nicht auf, wenn es zum Zeitpunkt , zu dem es auf Fahrzeug trifft, die gleiche Geschwindigkeit wie Fahrzeug hat, d. .

Aus diesen beiden Gleichungen können die beiden Unbekannten und bestimmt werden. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden:

  1. Fahrzeug trifft auf Fahrzeug während beide Fahrzeuge bremsen.
  2. Fahrzeug trifft auf Fahrzeug während Fahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit fährt.

Fall 1: Fahrzeug A bremst

Die beiden Bedingungen dafür, dass Fahrzeug gerade nicht auffährt, lauten:

Aus der ersten Gleichung folgt:

Aus der zweiten Gleichung folgt zunächst

Unter Benutzung der Gleichung für folgt für weiter:

Zahlenwert und interpretation:

Wegen tritt dieser Fall nicht ein.

Fall 2: Fahrzeug A fährt mit der konstanten Geschwindigkeit

Die beiden Bedingungen dafür, dass Fahrzeug gerade nicht auffährt, lauten:

Aus der ersten Gleichung folgt:

Einsetzen in die zweite Gleichung liefert

Daraus folgt aufgelöst nach

Zahlenwert:

Für die gesuchte Verzögerung folgt damit:

Diagramme

Abbildung  

Abbildung  

Lösung: