Eindimensionale Bewegung

Räumliche Bewegung

Kreisbewegung

Ebene Bewegung in Polarkoordinaten

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[v_{0}=986,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\]</li>
<li>\[v_{F}=11,18 \mathrm{~km} / \mathrm{s}\]</li>
</ol>

<p>a) Geschwindigkeit zum Erreichen der Höhe \( H \)</p>


<p>a) Geschwindigkeit zum Erreichen der Höhe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" H " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.009ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 888 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-512-TEX-I-1D43B" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 504 2T458 2T437 1Q420 1 420 10Q420 15 423 24Q428 43 433 45Q437 46 448 46H454Q481 46 514 49Q520 50 522 50T528 55T534 64T540 82T547 110T558 153Q565 181 569 198Q602 330 602 331T457 332H312L279 197Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 38 340 37T337 19Q333 6 327 0H312Q275 2 178 2Q144 2 115 2T69 2T48 1Q31 1 31 10Q31 12 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43B" xlink:href="#MJX-512-TEX-I-1D43B"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Wenn der Körper die Höhe \( H \) erreicht, ist seine Geschwindigkeit null. Bei einer ortsabhängigen Beschleunigung gilt für die Geschwindigkeit:</p>


<p>Wenn der Körper die Höhe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" H " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.009ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 888 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-513-TEX-I-1D43B" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 504 2T458 2T437 1Q420 1 420 10Q420 15 423 24Q428 43 433 45Q437 46 448 46H454Q481 46 514 49Q520 50 522 50T528 55T534 64T540 82T547 110T558 153Q565 181 569 198Q602 330 602 331T457 332H312L279 197Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 38 340 37T337 19Q333 6 327 0H312Q275 2 178 2Q144 2 115 2T69 2T48 1Q31 1 31 10Q31 12 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43B" xlink:href="#MJX-513-TEX-I-1D43B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> erreicht, ist seine Geschwindigkeit null. Bei einer ortsabhängigen Beschleunigung gilt für die Geschwindigkeit:</p>


<p>\[\begin{align}<br />v^{2}(h)&amp;=v_{0}^{2}+2 \int_{0}^{h} g(s) d s \\\\<br />&amp;=v_{0}^{2}-2 g_{0} \int_{0}^{h}\left(\frac{R}{R+s}\right)^{2} d s<br />\end{align}\]</p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" v(H)=0 " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.015ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3984.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-515-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-515-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-515-TEX-I-1D43B" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 504 2T458 2T437 1Q420 1 420 10Q420 15 423 24Q428 43 433 45Q437 46 448 46H454Q481 46 514 49Q520 50 522 50T528 55T534 64T540 82T547 110T558 153Q565 181 569 198Q602 330 602 331T457 332H312L279 197Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 38 340 37T337 19Q333 6 327 0H312Q275 2 178 2Q144 2 115 2T69 2T48 1Q31 1 31 10Q31 12 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-515-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-515-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-515-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-515-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(485,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-515-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(874,0)"><use data-c="1D43B" xlink:href="#MJX-515-TEX-I-1D43B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1762,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-515-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2428.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-515-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3484.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-515-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> folgt:</p>


<p>\[\begin{align}<br />v_{0}^{2}&amp;=2 g_{0} \int_{0}^{H}\left(\frac{R}{R+s}\right)^{2} d s \\\\<br />&amp;=-2 g_{0} R^{2}\left[\frac{1}{R+s}\right]_{s=0}^{s=H} \\\\<br />&amp;=2 g_{0}\left(R-\frac{R^{2}}{R+H}\right)<br />\end{align}\]</p>


<p>\[\begin{align}<br />v_{0}^{2}&amp;=2 \cdot 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \cdot\left(6371-\frac{6371^{2}}{6371+50}\right) \cdot 1000 \mathrm{~m}=973361 \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}} \\\\ v_{0}&amp;=986,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}<br />\end{align}\]</p>


<p>Wenn der Körper nicht zur Erde zurückfällt, wird seine Geschwindigkeit erst in unendlicher Höhe null.</p>


<p>Für die Fluchtgeschwindigkeit gilt daher</p>


<p>\[<br />v_{F}=\lim _{H \rightarrow \infty} \sqrt{2 g_{0}\left(R-\frac{R^{2}}{R+H}\right)}=\sqrt{2 g_{0} R}<br />\]</p>


<p>\[<br />v_{F}=\sqrt{2 \cdot 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \cdot 6371 \cdot 1000 \mathrm{~m}}=11180 \mathrm{~m} / \mathrm{s}<br />\]</p>

<p>Zwischen der Höhe \( h \) und der Erdbeschleunigung \( g \) besteht der Zusammenhang</p>
<p>\[<br />\quad g(h)=-g_{0}\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2}<br />\]</p>
<p>wobei die Höhe ab dem Erdboden positiv nach oben gemessen wird.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Mit welcher Geschwindigkeit \( v_{0} \) muss ein Körper am Erdboden abgeschossen werden, damit er die Höhe \( H \) erreicht?</li>
<li>Mit welcher Geschwindigkeit \( v_{F} \) muss der Körper mindestens abgeschossen werden, damit er nicht mehr zur Erde zurückfällt?</li>
</ol>
<p>Der Luftwiderstand darf vernachlässigt werden.</p>
<p><strong>Gegeben:</strong></p>
<p>\[\begin{aligned}g_{0}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2},\ R=6371 \mathrm{~km},\ H=50 \mathrm{~km}<br />\end{aligned}<br />\]</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Eindimensionale Bewegung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Kinematik des Punktes - Eindimensionale Bewegung | Aufgabe mit Lösung

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