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Aufgabenstellung:

Abbildung

Der abgebildete Kran besteht aus dem Kranarm und dem gelenkig angeschlossenen Hubzylinder . Der Hubzylinder wird mit der konstanten Geschwindigkeit ausgefahren, d. h. es gilt:

Aufgabenstellungen:

  1. Bestimmen Sie den Kosinus des Winkels in Abhängigkeit von den Längen und .
  2. Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit des Kranarms in Abhängigkeit von den Längen und dem Winkel .
  3. Bestimmen Sie die Bahngeschwindigkeit des Punktes und die Komponenten und seines Geschwindigkeitsvektors.
  4. Bestimmen Sie die Bahnbeschleunigung und die Normalbeschleunigung des Punktes .

Hinweis: Zur Lösung von Teilaufgabe a) benötigen Sie den Kosinussatz.

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Geometrie

Der Kosinussatz für das Dreieck lautet:

Daraus folgt:

b) Winkelgeschwindigkeit des Kranarms

Ableiten der Beziehung für den Kosinus des Winkels a ergibt:

Daraus folgt:

c) Geschwindigkeiten

Punkt bewegt sich auf einer Kreisbahn um Punkt Daher gilt für seine Bahngeschwindigkeit:

Für die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors gilt:

d) Beschleunigungen

Die Bahnbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Bahngeschwindigkeit:

Die Normalbeschleunigung ist gleich der Zentripetalbeschleunigung:

Lösung:

  1.  
  2.