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Aufgabenstellung:

Gegeben sind die beiden in der folgenden Abbildung gezeigten periodischen Funktionen   und mit der jeweiligen Periodendauer

 

Berechnen Sie den Mittel- und den Effektivwert beider Verläufe.

Abbildung

Lösungsweg:

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Vorgehen bei der Lösung

a) Aufstellen der Funktionen für die Spannungsverläufe als abschnittsweise Definition
b) Anwenden der Formeln in jedem Bereich

Zu verwendende Formeln

Der arithmetische Mittelwert wird allgemein berechnet nach der Vorschrift

wobei eine beliebige zeitabhängige Funktion ist (also z. B. , etc.) und die Periodendauer darstellt. Der Effektivwert (auch als RMS -Wert bezeichnet) wird beschrieben durch

wobei die gleichen Bezeichner wie oben verwendet werden. Der Effektivwert ist der Wert, den ein Gleichstrom mit mit diesem Wert (also Spannung bzw. Strom) an einem Lastwiderstand abgeben würde.

Berechnen von Mittel- und Effektivwerten

Lösung zum Aufgabenteil a)

Aufstellen der Funktionen, Geradengleichung:

üüüü

Hieraus folgen dann für die Parameter und

Nun können die Lösungen bestimmt werden. Dazu wird das o. a. Integral abschnittsweise berechnet:

Mittelwert

(hier ist )

Setzt man nun die folgenden Werte an

und

folgt daraus für das Integral

Eingesetzt ergibt sich nun

Effektivwert

(hier ist

Setzt man nun die o. a. Werte für und ein, so erhält man

Kürzen wir nun noch das

Lösung zum Aufgabenteil b)

Aufstellen der abschnittsweisen Definition der Funktion Durch genaueres Hinsehen ergibt sich eine schöne Möglichkeit, die Definition durch eine geeignete Verschiebung zu vereinfachen. Dies ist erlaubt, da es sich um eine periodische Funktion handelt und man somit nur die Phase verschiebt (siehe Abbildung 4.1.2).

Abbildung

Abbildung: Verschiebung der Ursprungsfunktion

Somit ergibt sich für die Funktion

üüü

Mittelwert

(hier ist

nach Integration und Einsetzen der Grenzen ergibt sich

Durch die günstige Periodendauer und Lage des Graphen, ist der Ausdruck der Zeiten als Periodenteil möglich: und . Gekürzt mit ergibt sich nun:

Setzt man die o. a. Zahlenwerte ein, ergibt sich

Effektivwert: Der Effektivwert berechnet sich genau wie oben angegeben:

(hier ist

Nun kann man wieder wie oben die Werte für einsetzen und mit kürzen

Zahlen eingesetzt ergibt

Ergänzung

Gerade die Berechnung für den Mittelwert kann deutlich einfacher gestaltet werden, indem man die entsprechenden Flächen ohne Integration bestimmt. Abbildung 4.1.3 zeigt die entsprechenden Flächen für beide Aufgabenteile. Es werden die Flächen , unter " der Kurve bestimmt (farbig dargestellt) und durch die Periodendauer geteilt. Dadurch ergibt sich der Mittelwert bezogen auf den unteren Rand der Kurve. Somit muss noch der Abstand des unteren Randes zu Null berücksichtigt werden. Beispielhaft soll hier das Bild 4.1.3a dienen: Die Fläche unterhalb des Dreiecks ist

Dieser Wert muss nun noch um nach unten geschoben werden, da der untere Rand bei liegt.

Abbildung

Abbildung: Schnelle Ermittlung des Gleichwertes

Lösung:

siehe Lösungsweg