Gegeben sind die beiden in der folgenden Abbildung gezeigten periodischen Funktionen
Berechnen Sie den Mittel- und den Effektivwert beider Verläufe.
Vorgehen bei der Lösung
a) Aufstellen der Funktionen für die Spannungsverläufe als abschnittsweise Definition
b) Anwenden der Formeln in jedem Bereich
Zu verwendende Formeln
Der arithmetische Mittelwert wird allgemein berechnet nach der Vorschrift
wobei
wobei die gleichen Bezeichner wie oben verwendet werden. Der Effektivwert ist der Wert, den ein Gleichstrom mit mit diesem Wert (also Spannung bzw. Strom) an einem Lastwiderstand abgeben würde.
Berechnen von Mittel- und Effektivwerten
Lösung zum Aufgabenteil a)
Aufstellen der Funktionen, Geradengleichung:
Hieraus folgen dann für die Parameter
Nun können die Lösungen bestimmt werden. Dazu wird das o. a. Integral abschnittsweise berechnet:
Mittelwert
(hier ist
Setzt man nun die folgenden Werte an
und
folgt daraus für das Integral
Eingesetzt ergibt sich nun
Effektivwert
(hier ist
Setzt man nun die o. a. Werte für
Kürzen wir nun noch das
Lösung zum Aufgabenteil b)
Aufstellen der abschnittsweisen Definition der Funktion Durch genaueres Hinsehen ergibt sich eine schöne Möglichkeit, die Definition durch eine geeignete Verschiebung zu vereinfachen. Dies ist erlaubt, da es sich um eine periodische Funktion handelt und man somit nur die Phase
Abbildung: Verschiebung der Ursprungsfunktion
Somit ergibt sich für die Funktion
Mittelwert
(hier ist
nach Integration und Einsetzen der Grenzen ergibt sich
Durch die günstige Periodendauer und Lage des Graphen, ist der Ausdruck der Zeiten als Periodenteil möglich:
Setzt man die o. a. Zahlenwerte ein, ergibt sich
Effektivwert: Der Effektivwert berechnet sich genau wie oben angegeben:
(hier ist
Nun kann man wieder wie oben die Werte für
Zahlen eingesetzt ergibt
Ergänzung
Gerade die Berechnung für den Mittelwert kann deutlich einfacher gestaltet werden, indem man die entsprechenden Flächen ohne Integration bestimmt. Abbildung 4.1.3 zeigt die entsprechenden Flächen für beide Aufgabenteile. Es werden die Flächen , unter " der Kurve bestimmt (farbig dargestellt) und durch die Periodendauer geteilt. Dadurch ergibt sich der Mittelwert bezogen auf den unteren Rand der Kurve. Somit muss noch der Abstand des unteren Randes zu Null berücksichtigt werden. Beispielhaft soll hier das Bild 4.1.3a dienen: Die Fläche unterhalb des Dreiecks ist
Dieser Wert muss nun noch um
Abbildung: Schnelle Ermittlung des Gleichwertes
siehe Lösungsweg